Номер 24.2, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.2.1) $lg(3 - x) = lg(x + 2);$

2) $lgx + lg(x - 1) = lg2;$

3) $log_5(x + 1) = log_5(4x - 5);$

4) $log_2(4 - x) = log_2(1 - 2x).$

1) Дано логарифмическое уравнение $lg(3 - x) = lg(x + 2)$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять выражения под знаком логарифма. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где выражения под логарифмами строго положительны.

ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x < 3 \\ x > -2 \end{cases}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2; 3)$.

Решаем уравнение:

$3 - x = x + 2$

$3 - 2 = x + x$

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$.

Проверяем, входит ли корень в ОДЗ: $-2 < 0.5 < 3$. Условие выполняется, следовательно, корень является решением.

Ответ: $0.5$.

2) Дано уравнение $lg(x) + lg(x - 1) = lg(2)$.

Сначала определим ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases}$.

Следовательно, ОДЗ: $x > 1$.

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$:

$lg(x(x - 1)) = lg(2)$

Приравниваем выражения под знаком логарифма:

$x(x - 1) = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x > 1$):

$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1$.

$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 1$, поэтому это посторонний корень.

Ответ: $2$.

3) Дано уравнение $log_5(x + 1) = log_5(4x - 5)$.

Определим ОДЗ: $\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 4x - 5 > 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x > -1 \\ 4x > 5 \end{cases}$ или $\begin{cases} x > -1 \\ x > \frac{5}{4} \end{cases}$.

Таким образом, ОДЗ: $x > \frac{5}{4}$ (или $x > 1.25$).

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем подлогарифмические выражения:

$x + 1 = 4x - 5$

$1 + 5 = 4x - x$

$6 = 3x$

$x = 2$

Проверяем корень: $2 > 1.25$. Корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $2$.

4) Дано уравнение $log_2(4 - x) = log_2(1 - 2x)$.

Определим ОДЗ: $\begin{cases} 4 - x > 0 \\ 1 - 2x > 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x < 4 \\ 1 > 2x \end{cases}$ или $\begin{cases} x < 4 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases}$.

Следовательно, ОДЗ: $x < \frac{1}{2}$ (или $x < 0.5$).

Приравниваем выражения под знаками логарифмов:

$4 - x = 1 - 2x$

$2x - x = 1 - 4$

$x = -3$

Проверяем корень: $-3 < 0.5$. Корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $-3$.