Страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какое свойство логарифмической функции необходимо учитывать при решении логарифмических уравнений?

2. Определите наиболее удобный способ решения уравнений $\log_a x = b$ и $\log_x a = b$.

1. При решении логарифмических уравнений ключевым свойством, которое необходимо учитывать, является область определения логарифмической функции (сокращенно ОДЗ — Область Допустимых Значений).

Логарифм $\log_a b$ определен и имеет смысл только при выполнении трех условий одновременно:

1. Основание логарифма должно быть положительным: $a > 0$.

2. Основание логарифма не должно равняться единице: $a \neq 1$.

3. Аргумент логарифма (подлогарифмическое выражение) должен быть строго положительным: $b > 0$.

Когда в логарифмическом уравнении переменная $x$ находится в основании или под знаком логарифма, необходимо всегда учитывать эти ограничения. Это делается одним из двух способов:

• Сначала находится ОДЗ, то есть решается система неравенств, вытекающая из вышеуказанных условий. Затем, после нахождения корней уравнения, отбираются только те, которые принадлежат ОДЗ.
• Решается уравнение без предварительного нахождения ОДЗ, а затем выполняется проверка найденных корней путем подстановки их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что все логарифмы в нем определены.

Несоблюдение этого свойства часто приводит к появлению посторонних корней.

Также важным свойством является монотонность логарифмической функции, которая гарантирует, что из равенства $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ следует равенство $f(x) = g(x)$ (в пределах ОДЗ).

Ответ: Главное свойство, которое необходимо учитывать — это область определения логарифмической функции (ОДЗ): основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а подлогарифмическое выражение — строго больше нуля.

2. Наиболее удобным и прямым способом решения для обоих типов уравнений является использование определения логарифма.

Для уравнения вида $\log_a x = b$:

Согласно определению, логарифмом числа $x$ по основанию $a$ называется показатель степени $b$, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $x$. Формально это записывается так: $\log_a x = b \Leftrightarrow x = a^b$.

Таким образом, решение мгновенно находится возведением известного основания $a$ в известную степень $b$. При этом предполагается, что на число $a$ уже наложены ограничения $a > 0$ и $a \neq 1$.

Для уравнения вида $\log_x a = b$:

В этом случае неизвестная $x$ находится в основании. Мы снова применяем определение логарифма: $\log_x a = b \Leftrightarrow x^b = a$.

Чтобы выразить $x$, необходимо возвести обе части уравнения в степень $\frac{1}{b}$: $(x^b)^{\frac{1}{b}} = a^{\frac{1}{b}}$, что дает $x = a^{\frac{1}{b}}$ (или $x = \sqrt[b]{a}$).

Здесь крайне важно после нахождения значения $x$ выполнить проверку, так как основание логарифма должно удовлетворять условиям ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$. Найденный корень должен быть проверен на соответствие этим двум условиям.

Ответ: Наиболее удобный способ для обоих уравнений — это решение по определению логарифма. Для уравнения $\log_a x = b$ решением является $x = a^b$. Для уравнения $\log_x a = b$ решение находится из соотношения $x^b = a$ с последующей обязательной проверкой найденного корня на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Решите уравнения (24.1–24.3):

24.1.1) $\log_3(2x - 1) = 2;$

2) $\ln(3x - 5) = 0;$

3) $\log_7(4 - x) = 1;$

4) $\lg(2x - 1) = \lg3.$

24.1. 1) $\log_3(2x - 1) = 2$

Для решения логарифмического уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > 1/2$

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.

В данном случае $a=3$, $b=2x-1$, $c=2$.

$2x - 1 = 3^2$

$2x - 1 = 9$

$2x = 10$

$x = 5$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ.

$5 > 1/2$. Условие выполняется, следовательно, корень подходит.

Ответ: $5$.

2) $\ln(3x - 5) = 0$

Натуральный логарифм $\ln$ имеет основание $e$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным.

$3x - 5 > 0$

$3x > 5$

$x > 5/3$

Решим уравнение, используя определение логарифма: $\ln b = c$ эквивалентно $b = e^c$.

$3x - 5 = e^0$

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1 ($e^0 = 1$), получаем:

$3x - 5 = 1$

$3x = 6$

$x = 2$

Проверим корень на соответствие ОДЗ.

$2 > 5/3$ (так как $6/3 > 5/3$). Условие выполняется.

Ответ: $2$.

3) $\log_7(4 - x) = 1$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным.

$4 - x > 0$

$x < 4$

Решим уравнение по определению логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

$4 - x = 7^1$

$4 - x = 7$

$-x = 7 - 4$

$-x = 3$

$x = -3$

Проверим корень на соответствие ОДЗ.

$-3 < 4$. Условие выполняется.

Ответ: $-3$.

4) $\lg(2x - 1) = \lg3$

Десятичный логарифм $\lg$ имеет основание 10.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным.

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > 1/2$

(Аргумент второго логарифма, 3, уже является положительным числом, поэтому дополнительных ограничений не требуется).

Если логарифмы по одному и тому же основанию равны, то равны и их аргументы.

$2x - 1 = 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Проверим корень на соответствие ОДЗ.

$2 > 1/2$. Условие выполняется.

Ответ: $2$.

24.2.1) $lg(3 - x) = lg(x + 2);$

2) $lgx + lg(x - 1) = lg2;$

3) $log_5(x + 1) = log_5(4x - 5);$

4) $log_2(4 - x) = log_2(1 - 2x).$

1) Дано логарифмическое уравнение $lg(3 - x) = lg(x + 2)$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять выражения под знаком логарифма. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где выражения под логарифмами строго положительны.

ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x < 3 \\ x > -2 \end{cases}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2; 3)$.

Решаем уравнение:

$3 - x = x + 2$

$3 - 2 = x + x$

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$.

Проверяем, входит ли корень в ОДЗ: $-2 < 0.5 < 3$. Условие выполняется, следовательно, корень является решением.

Ответ: $0.5$.

2) Дано уравнение $lg(x) + lg(x - 1) = lg(2)$.

Сначала определим ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases}$.

Следовательно, ОДЗ: $x > 1$.

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$:

$lg(x(x - 1)) = lg(2)$

Приравниваем выражения под знаком логарифма:

$x(x - 1) = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x > 1$):

$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1$.

$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 1$, поэтому это посторонний корень.

Ответ: $2$.

3) Дано уравнение $log_5(x + 1) = log_5(4x - 5)$.

Определим ОДЗ: $\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 4x - 5 > 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x > -1 \\ 4x > 5 \end{cases}$ или $\begin{cases} x > -1 \\ x > \frac{5}{4} \end{cases}$.

Таким образом, ОДЗ: $x > \frac{5}{4}$ (или $x > 1.25$).

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем подлогарифмические выражения:

$x + 1 = 4x - 5$

$1 + 5 = 4x - x$

$6 = 3x$

$x = 2$

Проверяем корень: $2 > 1.25$. Корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $2$.

4) Дано уравнение $log_2(4 - x) = log_2(1 - 2x)$.

Определим ОДЗ: $\begin{cases} 4 - x > 0 \\ 1 - 2x > 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x < 4 \\ 1 > 2x \end{cases}$ или $\begin{cases} x < 4 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases}$.

Следовательно, ОДЗ: $x < \frac{1}{2}$ (или $x < 0.5$).

Приравниваем выражения под знаками логарифмов:

$4 - x = 1 - 2x$

$2x - x = 1 - 4$

$x = -3$

Проверяем корень: $-3 < 0.5$. Корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $-3$.

24.3. 1) $\lg(5 - x) + \lg x = \lg 4;$

2) $\lg(x + 1) + \lg(x - 1) = \lg 3;$

3) $\ln(6 - x) + \ln x = \ln 5;$

4) $\lg x + \lg(x - 3) = 1.$

1) Исходное уравнение: $lg(5 - x) + lg x = lg 4$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > 0 \end{cases}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 5)$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ для левой части уравнения:

$lg((5 - x) \cdot x) = lg 4$.

Так как основания логарифмов одинаковы (равны 10), мы можем приравнять их аргументы:

$(5 - x)x = 4$

$5x - x^2 = 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in (0; 5)$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $0 < 1 < 5$.

Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $0 < 4 < 5$.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: 1; 4.

2) Исходное уравнение: $lg(x + 1) + lg(x - 1) = lg 3$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases}$. Общим решением системы является $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$lg((x + 1)(x - 1)) = lg 3$.

В левой части используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$lg(x^2 - 1^2) = lg 3$

$lg(x^2 - 1) = lg 3$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x^2 - 1 = 3$

$x^2 = 4$.

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in (1; +\infty)$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 1$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 2.

3) Исходное уравнение: $ln(6 - x) + ln x = ln 5$.

Здесь $ln$ — это натуральный логарифм (по основанию $e$).

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ x > 0 \end{cases}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 6)$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$ln((6 - x) \cdot x) = ln 5$.

Приравниваем аргументы:

$(6 - x)x = 5$

$6x - x^2 = 5$

$x^2 - 6x + 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = 5$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in (0; 6)$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $0 < 1 < 6$.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $0 < 5 < 6$.

Оба корня подходят.

Ответ: 1; 5.

4) Исходное уравнение: $lg x + lg(x - 3) = 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases}$. Общим решением является $x > 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

Представим правую часть уравнения в виде десятичного логарифма: $1 = lg 10$.

Уравнение примет вид: $lg x + lg(x - 3) = lg 10$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$lg(x(x - 3)) = lg 10$.

Приравниваем аргументы:

$x(x - 3) = 10$

$x^2 - 3x = 10$

$x^2 - 3x - 10 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in (3; +\infty)$.

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 3$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 3$, это посторонний корень.

Ответ: 5.

24.4. Найдите наибольший целый корень уравнения:

1) $lg(x^2 - x) = 1 - lg5$;

2) $\log_6(x^2 - 2x) = 1 - \log_6 2$;

3) $2\log_3^2 x - 7\log_3 x + 3 = 0$;

4) $\log_3^2 x - 3\log_3 x + 2 = 0$.

1) Исходное уравнение: $lg(x^2 - x) = 1 - lg(5)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 - x > 0$, что равносильно $x(x - 1) > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; 0) \cup (1; \infty)$.

Преобразуем правую часть уравнения. Зная, что десятичный логарифм `lg` имеет основание 10, и $1 = lg(10)$, получаем: $1 - lg(5) = lg(10) - lg(5)$.

Используя свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$, имеем: $lg(10) - lg(5) = lg(\frac{10}{5}) = lg(2)$.

Теперь уравнение принимает вид: $lg(x^2 - x) = lg(2)$.

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы: $x^2 - x = 2$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ: Для $x_1 = 2$: $2 \in (1; \infty)$, корень подходит. Для $x_2 = -1$: $-1 \in (-\infty; 0)$, корень подходит.

Оба корня являются целыми числами: 2 и -1. Наибольший из них - это 2.

Ответ: 2

2) Исходное уравнение: $log_6(x^2 - 2x) = 1 - log_6(2)$.

ОДЗ: $x^2 - 2x > 0$, или $x(x - 2) > 0$. Решением является $x \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)$.

Представим 1 в виде логарифма по основанию 6: $1 = log_6(6)$. Тогда правая часть уравнения преобразуется: $1 - log_6(2) = log_6(6) - log_6(2) = log_6(\frac{6}{2}) = log_6(3)$.

Уравнение принимает вид: $log_6(x^2 - 2x) = log_6(3)$.

Приравниваем аргументы логарифмов: $x^2 - 2x = 3$.

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ: Для $x_1 = 3$: $3 \in (2; \infty)$, корень подходит. Для $x_2 = -1$: $-1 \in (-\infty; 0)$, корень подходит.

Оба корня являются целыми числами: 3 и -1. Наибольший из них - 3.

Ответ: 3

3) Исходное уравнение: $2\log_3^2 x - 7\log_3 x + 3 = 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $\log_3 x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид: $2t^2 - 7t + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Вычислим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Найдем корни для $t$: $t_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. Если $\log_3 x = t_1 = \frac{1}{2}$, то $x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$. Это число не является целым.

2. Если $\log_3 x = t_2 = 3$, то $x = 3^3 = 27$. Это целое число.

Оба найденных значения для $x$ ($\sqrt{3}$ и 27) положительны, поэтому удовлетворяют ОДЗ.

В уравнении есть только один целый корень, 27, который, следовательно, и является наибольшим целым корнем.

Ответ: 27

4) Исходное уравнение: $\log_3^2 x - 3\log_3 x + 2 = 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. Уравнение преобразуется в квадратное: $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

1. Если $\log_3 x = t_1 = 1$, то $x = 3^1 = 3$.

2. Если $\log_3 x = t_2 = 2$, то $x = 3^2 = 9$.

Оба корня, 3 и 9, положительны и удовлетворяют ОДЗ. Оба корня являются целыми числами.

Среди корней 3 и 9 наибольшим является 9.

Ответ: 9