Страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.1. Решите неравенства:

1) $3^x > \frac{1}{27}$;

2) $2^x < \frac{1}{8}$;

3) $(\frac{2}{5})^{x+2} > (\frac{2}{5})^{-1}$;

4) $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < \frac{1}{16}$;

5) $(\frac{1}{5})^{3-x} < 25$;

6) $(\frac{1}{3})^{x+2} < 9$.

1) Дано неравенство $3^x > \frac{1}{27}$.

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Представим правую часть в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$, следовательно, $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Подставим это в исходное неравенство: $3^x > 3^{-3}$.

Так как основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$x > -3$.

Решение можно записать в виде интервала: $x \in (-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

2) Дано неравенство $2^x < \frac{1}{8}$.

Приведем обе части к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$, следовательно, $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

Неравенство принимает вид: $2^x < 2^{-3}$.

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.

$x < -3$.

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

3) Дано неравенство $(\frac{2}{5})^{x+2} > (\frac{2}{5})^{-1}$.

Обе части неравенства уже имеют одинаковое основание $a = \frac{2}{5}$.

Так как основание степени $a=\frac{2}{5}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{2}{5} < 1$), показательная функция $y=(\frac{2}{5})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x + 2 < -1$.

Решаем линейное неравенство:

$x < -1 - 2$.

$x < -3$.

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

4) Дано неравенство $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < \frac{1}{16}$.

Приведем правую часть к основанию $\frac{1}{4}$. Мы знаем, что $16 = 4^2$, поэтому $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = (\frac{1}{4})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < (\frac{1}{4})^2$.

Так как основание $a=\frac{1}{4}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{4} < 1$), показательная функция является убывающей. Знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$x^2 - x > 2$.

Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство: $x^2 - x - 2 > 0$.

Для решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны (больше нуля) за пределами корней.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 2$.

Решение в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

5) Дано неравенство $(\frac{1}{5})^{3-x} < 25$.

Приведем обе части к одному основанию, например, к 5.

Левая часть: $(\frac{1}{5})^{3-x} = (5^{-1})^{3-x} = 5^{-(3-x)} = 5^{x-3}$.

Правая часть: $25 = 5^2$.

Неравенство принимает вид: $5^{x-3} < 5^2$.

Так как основание $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.

$x - 3 < 2$.

$x < 5$.

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

6) Дано неравенство $(\frac{1}{3})^{x+2} < 9$.

Приведем обе части к основанию 3.

Левая часть: $(\frac{1}{3})^{x+2} = (3^{-1})^{x+2} = 3^{-(x+2)} = 3^{-x-2}$.

Правая часть: $9 = 3^2$.

Неравенство принимает вид: $3^{-x-2} < 3^2$.

Так как основание $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.

$-x - 2 < 2$.

$-x < 2 + 2$.

$-x < 4$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -4$.

Решение в виде интервала: $x \in (-4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

25.2. Найдите наибольшее целое значение x, удовлетворяющее не-равенству:

1) $5^{x-1} < 25;$

2) $3^{3-x} > 9;$

3) $6^{2x} < \frac{1}{36};$

4) $(\frac{1}{2})^{2x-2} > 4;$

5) $(\frac{1}{3})^{5-3x} < 81;$

6) $(\frac{1}{2})^{2x-3} > (\frac{1}{2})^2.$

1) Решим неравенство $5^{x-1} < 25$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию. В данном случае это основание 5.

Представим число 25 как степень пятерки: $25 = 5^2$.

Неравенство принимает вид: $5^{x-1} < 5^2$.

Поскольку основание степени $5$ больше 1, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x - 1 < 2$

$x < 2 + 1$

$x < 3$

Мы ищем наибольшее целое значение $x$, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, которые меньше 3, это ..., 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $3^{3-x} > 9$.

Приведем обе части к основанию 3.

Представим число 9 как степень тройки: $9 = 3^2$.

Неравенство принимает вид: $3^{3-x} > 3^2$.

Основание степени $3$ больше 1, поэтому знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$3 - x > 2$

$-x > 2 - 3$

$-x > -1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < 1$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше 1, это 0.

Ответ: 0

3) Решим неравенство $6^{2x} < \frac{1}{36}$.

Приведем обе части к основанию 6.

Представим дробь $\frac{1}{36}$ как степень шестерки: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $6^{2x} < 6^{-2}$.

Основание степени $6$ больше 1, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x < -2$

$x < -1$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше -1, это -2.

Ответ: -2

4) Решим неравенство $(\frac{1}{2})^{2x-2} > 4$.

Приведем обе части к одному основанию. Можно использовать основание 2 или $\frac{1}{2}$. Выберем основание 2.

Левая часть: $(\frac{1}{2})^{2x-2} = (2^{-1})^{2x-2} = 2^{-(2x-2)} = 2^{2-2x}$.

Правая часть: $4 = 2^2$.

Неравенство принимает вид: $2^{2-2x} > 2^2$.

Основание степени $2$ больше 1, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2 - 2x > 2$

$-2x > 2 - 2$

$-2x > 0$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства:

$x < 0$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше 0, это -1.

Ответ: -1

5) Решим неравенство $(\frac{1}{3})^{5-3x} < 81$.

Приведем обе части к основанию 3.

Левая часть: $(\frac{1}{3})^{5-3x} = (3^{-1})^{5-3x} = 3^{-(5-3x)} = 3^{3x-5}$.

Правая часть: $81 = 3^4$.

Неравенство принимает вид: $3^{3x-5} < 3^4$.

Основание степени $3$ больше 1, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$3x - 5 < 4$

$3x < 4 + 5$

$3x < 9$

$x < 3$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше 3, это 2.

Ответ: 2

6) Решим неравенство $(\frac{1}{2})^{2x-3} > (\frac{1}{2})^2$.

Обе части неравенства уже имеют одинаковое основание $\frac{1}{2}$.

Поскольку основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$2x - 3 < 2$

$2x < 2 + 3$

$2x < 5$

$x < \frac{5}{2}$ или $x < 2.5$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше 2.5, это 2.

Ответ: 2

25.3. Решите системы неравенств:

1) $\begin{cases} 5^x > 25, \\ (\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8 > (\frac{1}{2})^{6-x}, \\ 3^{4x} > 81. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases}5^x > 25, \\(\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27}\end{cases}$

Решим первое неравенство: $5^x > 25$.

Представим $25$ как $5^2$, получим неравенство $5^x > 5^2$.

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 2$.

Теперь решим второе неравенство: $(\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27}$.

Представим $\frac{1}{27}$ как $(\frac{1}{3})^3$, получим неравенство $(\frac{1}{3})^{x-8} < (\frac{1}{3})^3$.

Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$x - 8 > 3$

$x > 11$.

Решением системы является пересечение полученных решений:$\begin{cases}x > 2, \\x > 11\end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $x > 11$.

Ответ: $(11; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases}8 > (\frac{1}{2})^{6-x}, \\3^{4x} > 81\end{cases}$

Решим первое неравенство: $8 > (\frac{1}{2})^{6-x}$.

Приведем обе части к основанию $2$. Так как $8 = 2^3$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, неравенство примет вид:

$2^3 > (2^{-1})^{6-x}$

$2^3 > 2^{-(6-x)}$

$2^3 > 2^{x-6}$

Так как основание $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$3 > x - 6$

$9 > x$, или $x < 9$.

Теперь решим второе неравенство: $3^{4x} > 81$.

Представим $81$ как $3^4$, получим неравенство $3^{4x} > 3^4$.

Так как основание $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$4x > 4$

$x > 1$.

Решением системы является пересечение полученных решений:$\begin{cases}x < 9, \\x > 1\end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $1 < x < 9$.

Ответ: $(1; 9)$.

Решите неравенства (25.4–25.5):

25.4. 1) $3^{-2x} < \sqrt{3}$;

2) $(\frac{1}{5})^{\frac{2x}{3}} > 25$;

3) $(\frac{1}{9})^{-3x+1} > \sqrt{3}$;

4) $2^{\frac{3x+2}{2}} < 16$;

5) $5^{\frac{x+1}{3}} > \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$;

6) $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > \frac{9}{4}$.

1) $3^{-2x} < \sqrt{3}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Неравенство принимает вид: $3^{-2x} < 3^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства: $-2x < \frac{1}{2}$.

Разделим обе части неравенства на -2, при этом изменив знак неравенства на противоположный: $x > -\frac{1}{4}$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

2) $(\frac{1}{5})^{\frac{2x}{3}} > 25$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{5}$. Так как $25 = 5^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$, то неравенство можно переписать в виде:

$(\frac{1}{5})^{\frac{2x}{3}} > (\frac{1}{5})^{-2}$.

Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, то показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{2x}{3} < -2$.

Умножим обе части на 3: $2x < -6$.

Разделим на 2: $x < -3$.

Ответ: $(-\infty; -3)$.

3) $(\frac{1}{9})^{-3x+1} > \sqrt{3}$

Приведем обе части неравенства к основанию 3. Левая часть: $(\frac{1}{9})^{-3x+1} = (3^{-2})^{-3x+1} = 3^{-2(-3x+1)} = 3^{6x-2}$. Правая часть: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Неравенство принимает вид: $3^{6x-2} > 3^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $3 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $6x-2 > \frac{1}{2}$.

Прибавим 2 к обеим частям: $6x > \frac{1}{2} + 2$, что равно $6x > \frac{5}{2}$.

Разделим обе части на 6: $x > \frac{5}{12}$.

Ответ: $(\frac{5}{12}; +\infty)$.

4) $2^{\frac{3x}{2}+8} < 16$

Приведем правую часть к основанию 2: $16 = 2^4$.

Неравенство принимает вид: $2^{\frac{3x}{2}+8} < 2^4$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $\frac{3x}{2}+8 < 4$.

Вычтем 8 из обеих частей: $\frac{3x}{2} < -4$.

Умножим на 2: $3x < -8$.

Разделим на 3: $x < -\frac{8}{3}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{8}{3})$.

5) $5^{\frac{x+1}{3}} > \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{\sqrt[3]{5}} = \frac{1}{5^{1/3}} = 5^{-\frac{1}{3}}$.

Неравенство принимает вид: $5^{\frac{x+1}{3}} > 5^{-\frac{1}{3}}$.

Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $\frac{x+1}{3} > -\frac{1}{3}$.

Умножим обе части на 3: $x+1 > -1$.

Вычтем 1 из обеих частей: $x > -2$.

Ответ: $(-2; +\infty)$.

6) $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > \frac{9}{4}$

Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$. Правая часть: $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = ((\frac{2}{3})^{-1})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > (\frac{2}{3})^{-2}$.

Основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, функция убывающая. Переходим к неравенству для показателей, изменив знак на противоположный: $\frac{4}{x}-3 < -2$.

Прибавим 3 к обеим частям: $\frac{4}{x} < 1$.

Перенесем 1 влево и приведем к общему знаменателю: $\frac{4}{x} - 1 < 0 \Rightarrow \frac{4-x}{x} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $4-x=0 \Rightarrow x=4$. Нуль знаменателя: $x=0$. Отметим эти точки на числовой прямой (обе точки выколотые, так как неравенство строгое и $x \neq 0$).

Интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$, $(4, +\infty)$.

Проверим знак выражения $\frac{4-x}{x}$ на каждом интервале. При $x < 0$, выражение отрицательно. При $0 < x < 4$, выражение положительно. При $x > 4$, выражение отрицательно.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

25.5.1) $(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{9}{49})^{x+1.5}$;

2) $(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > (\frac{8}{27})^{x+2}$;

3) $(\frac{1}{27})^{x^2+1} > (\frac{1}{9})^{-x^2+8x}$;

4) $(0,2)^{\frac{6x-1}{3-x}} < (\frac{1}{5})^2$;

5) $(\frac{1}{7})^{\frac{x}{1-x}} > 49$;

6) $(\frac{1}{2})^{\frac{x-1}{x+2}} > 4.

1) $(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{9}{49})^{x+1.5}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{3}{7}$. Заметим, что $\frac{9}{49} = (\frac{3}{7})^2$.

$(\frac{3}{7})^{x^2} > ((\frac{3}{7})^2)^{x+1.5}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{3}{7})^{2(x+1.5)}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{3}{7})^{2x+3}$

Так как основание степени $a = \frac{3}{7}$ и $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x^2 < 2x+3$

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется между корнями.

$x \in (-1; 3)$

Ответ: $x \in (-1; 3)$

2) $(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > (\frac{8}{27})^{x+2}$

Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$. Заметим, что $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$.

$(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > ((\frac{2}{3})^3)^{x+2}$

$(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > (\frac{2}{3})^{3(x+2)}$

$(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > (\frac{2}{3})^{3x+6}$

Так как основание степени $a = \frac{2}{3}$ и $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Меняем знак неравенства.

$x^2+4x < 3x+6$

$x^2 + x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + x - 6$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется между корнями.

$x \in (-3; 2)$

Ответ: $x \in (-3; 2)$

3) $(\frac{1}{27})^{x^2+1} > (\frac{1}{9})^{-x^2+8x}$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$. Заметим, что $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ и $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.

$((\frac{1}{3})^3)^{x^2+1} > ((\frac{1}{3})^2)^{-x^2+8x}$

$(\frac{1}{3})^{3x^2+3} > (\frac{1}{3})^{-2x^2+16x}$

Так как основание $a = \frac{1}{3}$ и $0 < a < 1$, меняем знак неравенства.

$3x^2+3 < -2x^2+16x$

$5x^2 - 16x + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 16x + 3 = 0$.

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{16 - 14}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{16 + 14}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Парабола $y = 5x^2 - 16x + 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

$x \in (\frac{1}{5}; 3)$

Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; 3)$

4) $(0,2)^{\frac{6x-1}{3-x}} < (\frac{1}{5})^2$

Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $0,2 = \frac{1}{5}$.

$(\frac{1}{5})^{\frac{6x-1}{3-x}} < (\frac{1}{5})^2$

Так как основание $a = \frac{1}{5}$ и $0 < a < 1$, меняем знак неравенства.

$\frac{6x-1}{3-x} > 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений: $x \neq 3$.

$\frac{6x-1}{3-x} - 2 > 0$

$\frac{6x-1 - 2(3-x)}{3-x} > 0$

$\frac{6x-1 - 6 + 2x}{3-x} > 0$

$\frac{8x-7}{3-x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x = \frac{7}{8}$ и $x = 3$. Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки на интервалах.

Интервалы: $(-\infty; \frac{7}{8})$, $(\frac{7}{8}; 3)$, $(3; +\infty)$.

При $x=0$: $\frac{-7}{3} < 0$.

При $x=1$: $\frac{1}{2} > 0$.

При $x=4$: $\frac{25}{-1} < 0$.

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля.

$x \in (\frac{7}{8}; 3)$

Ответ: $x \in (\frac{7}{8}; 3)$

5) $(\frac{1}{7})^{\frac{x}{1-x}} > 49$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{7}$. Заметим, что $49 = 7^2 = (\frac{1}{7})^{-2}$.

$(\frac{1}{7})^{\frac{x}{1-x}} > (\frac{1}{7})^{-2}$

Так как основание $a = \frac{1}{7}$ и $0 < a < 1$, меняем знак неравенства.

$\frac{x}{1-x} < -2$

Область допустимых значений: $x \neq 1$.

$\frac{x}{1-x} + 2 < 0$

$\frac{x + 2(1-x)}{1-x} < 0$

$\frac{x + 2 - 2x}{1-x} < 0$

$\frac{2-x}{1-x} < 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, знак неравенства не изменится: $\frac{x-2}{x-1} < 0$.

Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=2$ и $x=1$. Неравенство выполняется между корнями.

$x \in (1; 2)$

Ответ: $x \in (1; 2)$

6) $(\frac{1}{2})^{\frac{x-1}{x+2}} > 4$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{2}$. Заметим, что $4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$.

$(\frac{1}{2})^{\frac{x-1}{x+2}} > (\frac{1}{2})^{-2}$

Так как основание $a = \frac{1}{2}$ и $0 < a < 1$, меняем знак неравенства.

$\frac{x-1}{x+2} < -2$

Область допустимых значений: $x \neq -2$.

$\frac{x-1}{x+2} + 2 < 0$

$\frac{x-1 + 2(x+2)}{x+2} < 0$

$\frac{x-1 + 2x + 4}{x+2} < 0$

$\frac{3x+3}{x+2} < 0$

$\frac{3(x+1)}{x+2} < 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=-1$ и $x=-2$. Неравенство выполняется между корнями.

$x \in (-2; -1)$

Ответ: $x \in (-2; -1)$

Найдите наибольшие целые значения x, удовлетворяющие неравенствам (25.6–25.7):

25.6. 1) $2^{3x} < \sqrt[5]{2}$; 2) $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{x+1}{2}} > 4$; 3) $\left(\frac{1}{49}\right)^{-\frac{x}{2}} < 7$; 4) $3^{\frac{2x+1}{5}} < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

1) Решим неравенство $2^{3x} < \sqrt[5]{2}$.

Сначала представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием 2. Правая часть: $\sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}}$.

Неравенство принимает вид: $2^{3x} < 2^{\frac{1}{5}}$.

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что для показателей степеней знак неравенства сохраняется: $3x < \frac{1}{5}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3: $x < \frac{1}{3 \cdot 5}$, то есть $x < \frac{1}{15}$.

Нам нужно найти наибольшее целое значение $x$, удовлетворяющее этому условию. Поскольку $\frac{1}{15}$ - это положительное число, меньшее 1, наибольшим целым числом, которое меньше $\frac{1}{15}$, является 0.

Ответ: 0

2) Решим неравенство $(\frac{1}{8})^{\frac{x+1}{2}} > 4$.

Приведем обе части к одному основанию, например, к 2. Мы знаем, что $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$ и $4 = 2^2$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство: $(2^{-3})^{\frac{x+1}{2}} > 2^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую часть: $2^{-3 \cdot \frac{x+1}{2}} > 2^2$, или $2^{-\frac{3x+3}{2}} > 2^2$.

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $-\frac{3x+3}{2} > 2$.

Умножим обе части на 2: $-(3x+3) > 4$.

Раскроем скобки: $-3x - 3 > 4$.

Перенесем -3 в правую часть: $-3x > 7$.

Разделим обе части на -3, при этом изменив знак неравенства на противоположный: $x < -\frac{7}{3}$.

Значение $-\frac{7}{3}$ равно $-2\frac{1}{3}$. Наибольшее целое число, которое меньше $-2\frac{1}{3}$, это -3.

Ответ: -3

3) Решим неравенство $(\frac{1}{49})^{-\frac{x}{2}} < 7$.

Приведем обе части к основанию 7. Мы знаем, что $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$.

Неравенство примет вид: $(7^{-2})^{-\frac{x}{2}} < 7^1$.

Упростим левую часть: $7^{(-2) \cdot (-\frac{x}{2})} < 7^1$, что дает $7^x < 7^1$.

Поскольку основание $7 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется: $x < 1$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $x < 1$, это 0.

Ответ: 0

4) Решим неравенство $3^{\frac{2x+1}{5}} < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Приведем обе части к основанию 3. Правая часть: $\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{3}}} = 3^{-\frac{1}{3}}$.

Неравенство принимает вид: $3^{\frac{2x+1}{5}} < 3^{-\frac{1}{3}}$.

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $\frac{2x+1}{5} < -\frac{1}{3}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 15: $15 \cdot \frac{2x+1}{5} < 15 \cdot (-\frac{1}{3})$.

Получим: $3(2x+1) < -5$.

Раскроем скобки: $6x + 3 < -5$.

Перенесем 3 в правую часть: $6x < -5 - 3$, что дает $6x < -8$.

Разделим на 6: $x < -\frac{8}{6}$, или после сокращения $x < -\frac{4}{3}$.

Значение $-\frac{4}{3}$ равно $-1\frac{1}{3}$. Наибольшее целое число, которое меньше $-1\frac{1}{3}$, это -2.

Ответ: -2