Страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.22. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = 6 - x$, $x = 0$ и $y = 2^x$;

2) $y = 5 - 2x$, $x = 0$ и $y = 3^x$.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 6 - x$, $y = 2^x$ и прямой $x=0$, необходимо сначала найти точки пересечения этих графиков, чтобы определить пределы интегрирования. Один предел интегрирования задан условием $x=0$.

Найдем точку пересечения графиков $y = 6 - x$ и $y = 2^x$ путем решения уравнения:

$6 - x = 2^x$

Это трансцендентное уравнение. Решим его методом подбора. Легко заметить, что при $x=2$ уравнение обращается в верное равенство: $6 - 2 = 4$ и $2^2 = 4$. Таким образом, графики пересекаются в точке, где $x=2$.

Теперь у нас есть пределы интегрирования: от $a=0$ до $b=2$.

Далее определим, какая из функций больше на интервале $(0, 2)$. Возьмем пробную точку, например, $x=1$:

Для $y = 6 - x$: $y(1) = 6 - 1 = 5$.

Для $y = 2^x$: $y(1) = 2^1 = 2$.

Поскольку $5 > 2$, на интервале $[0, 2]$ график функции $y = 6 - x$ расположен выше графика функции $y = 2^x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{2} ((6 - x) - 2^x) dx$

Вычислим этот определенный интеграл. Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = 6 - x - 2^x$ имеет вид $F(x) = 6x - \frac{x^2}{2} - \frac{2^x}{\ln 2}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(0) = \left. \left(6x - \frac{x^2}{2} - \frac{2^x}{\ln 2}\right) \right|_{0}^{2}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left(6(2) - \frac{2^2}{2} - \frac{2^2}{\ln 2}\right) - \left(6(0) - \frac{0^2}{2} - \frac{2^0}{\ln 2}\right)$

$S = \left(12 - 2 - \frac{4}{\ln 2}\right) - \left(0 - 0 - \frac{1}{\ln 2}\right)$

$S = \left(10 - \frac{4}{\ln 2}\right) - \left(-\frac{1}{\ln 2}\right) = 10 - \frac{4}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 10 - \frac{3}{\ln 2}$

Ответ: $10 - \frac{3}{\ln 2}$.

2)

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 5 - 2x$, $y = 3^x$ и прямой $x=0$. Аналогично первому пункту, найдем пределы интегрирования.

Один предел задан: $x=0$. Найдем второй предел, решив уравнение $5 - 2x = 3^x$ для нахождения точки пересечения.

$5 - 2x = 3^x$

Подбором находим, что при $x=1$ уравнение становится верным: $5 - 2(1) = 3$ и $3^1 = 3$. Значит, второй предел интегрирования $x=1$.

Интегрировать будем в пределах от $a=0$ до $b=1$.

Определим, какая функция является верхней на интервале $(0, 1)$. Возьмем пробную точку $x=0.5$:

Для $y = 5 - 2x$: $y(0.5) = 5 - 2(0.5) = 4$.

Для $y = 3^x$: $y(0.5) = 3^{0.5} = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Поскольку $4 > \sqrt{3}$, на интервале $[0, 1]$ график функции $y = 5 - 2x$ находится выше графика $y = 3^x$.

Площадь фигуры $S$ равна интегралу от разности функций:

$S = \int_{0}^{1} ((5 - 2x) - 3^x) dx$

Вычислим интеграл. Первообразная для $f(x) = 5 - 2x - 3^x$ есть $F(x) = 5x - x^2 - \frac{3^x}{\ln 3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(1) - F(0) = \left. \left(5x - x^2 - \frac{3^x}{\ln 3}\right) \right|_{0}^{1}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left(5(1) - 1^2 - \frac{3^1}{\ln 3}\right) - \left(5(0) - 0^2 - \frac{3^0}{\ln 3}\right)$

$S = \left(5 - 1 - \frac{3}{\ln 3}\right) - \left(0 - 0 - \frac{1}{\ln 3}\right)$

$S = \left(4 - \frac{3}{\ln 3}\right) - \left(-\frac{1}{\ln 3}\right) = 4 - \frac{3}{\ln 3} + \frac{1}{\ln 3} = 4 - \frac{2}{\ln 3}$

Ответ: $4 - \frac{2}{\ln 3}$.

24.23. Найдите аналитическую формулу функции, график которой изображен на рисунке 65:

1)

2)

3)

Рис. 65

1)

График, изображенный на рисунке, является параболой. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 1)$. Общая формула параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Подставив координаты вершины $(0, 1)$ в эту формулу, получим $y = a(x - 0)^2 + 1$, что равносильно $y = ax^2 + 1$.

Для определения коэффициента $a$ воспользуемся другой точкой на графике, например, $(1, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$2 = a \cdot 1^2 + 1$

$2 = a + 1$

$a = 1$

Таким образом, аналитическая формула функции имеет вид $y = x^2 + 1$. Проверим эту формулу, используя еще одну точку, например, $(2, 5)$:

$y(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

Значение совпадает с графиком.

Ответ: $y = x^2 + 1$

2)

График этой функции симметричен относительно оси $Oy$, следовательно, функция является четной. График имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.

Рассмотрим правую ветвь графика при $x > 0$. Заметим на ней следующие точки с целочисленными координатами: $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$. Данный набор точек характерен для логарифмической функции $y = \log_b(x)$. Найдем основание логарифма $b$, подставив координаты точки $(2, 1)$:

$1 = \log_b(2)$, что по определению логарифма означает $b^1 = 2$, откуда $b=2$.

Итак, для $x > 0$ функция имеет вид $y = \log_2(x)$. Проверим другие точки:

При $x=1$, $y = \log_2(1) = 0$. Верно.

При $x=4$, $y = \log_2(4) = \log_2(2^2) = 2$. Верно.

Поскольку функция является четной, ее значение для отрицательных $x$ должно быть таким же, как и для соответствующих положительных $x$. Это достигается заменой $x$ на $|x|$. Таким образом, общая формула для всего графика:

Ответ: $y = \log_2(|x|)$

3)

График данной функции также симметричен относительно оси $Oy$, что указывает на четность функции. В точке $(0, 1)$ наблюдается излом (пик).

Рассмотрим правую часть графика при $x \ge 0$. Выделим на ней точки: $(0, 1)$, $(1, 1/2)$, $(2, 1/4)$. Эта последовательность значений характерна для показательной функции $y = a^x$. Найдем основание $a$, используя точку $(1, 1/2)$:

$1/2 = a^1$, откуда $a = 1/2$.

Таким образом, для $x \ge 0$ формула функции $y = (1/2)^x$. Проверим другие точки:

При $x=0$, $y = (1/2)^0 = 1$. Верно.

При $x=2$, $y = (1/2)^2 = 1/4$. Верно.

Функцию $y = (1/2)^x$ можно также записать как $y = 2^{-x}$.

Учитывая четность функции, для получения формулы, описывающей весь график, необходимо заменить аргумент $x$ на его модуль $|x|$.

Ответ: $y = 2^{-|x|}$