Номер 24.23, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.23. Найдите аналитическую формулу функции, график которой изображен на рисунке 65:

1)

2)

3)

Рис. 65

1)

График, изображенный на рисунке, является параболой. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 1)$. Общая формула параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Подставив координаты вершины $(0, 1)$ в эту формулу, получим $y = a(x - 0)^2 + 1$, что равносильно $y = ax^2 + 1$.

Для определения коэффициента $a$ воспользуемся другой точкой на графике, например, $(1, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$2 = a \cdot 1^2 + 1$

$2 = a + 1$

$a = 1$

Таким образом, аналитическая формула функции имеет вид $y = x^2 + 1$. Проверим эту формулу, используя еще одну точку, например, $(2, 5)$:

$y(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

Значение совпадает с графиком.

Ответ: $y = x^2 + 1$

2)

График этой функции симметричен относительно оси $Oy$, следовательно, функция является четной. График имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.

Рассмотрим правую ветвь графика при $x > 0$. Заметим на ней следующие точки с целочисленными координатами: $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$. Данный набор точек характерен для логарифмической функции $y = \log_b(x)$. Найдем основание логарифма $b$, подставив координаты точки $(2, 1)$:

$1 = \log_b(2)$, что по определению логарифма означает $b^1 = 2$, откуда $b=2$.

Итак, для $x > 0$ функция имеет вид $y = \log_2(x)$. Проверим другие точки:

При $x=1$, $y = \log_2(1) = 0$. Верно.

При $x=4$, $y = \log_2(4) = \log_2(2^2) = 2$. Верно.

Поскольку функция является четной, ее значение для отрицательных $x$ должно быть таким же, как и для соответствующих положительных $x$. Это достигается заменой $x$ на $|x|$. Таким образом, общая формула для всего графика:

Ответ: $y = \log_2(|x|)$

3)

График данной функции также симметричен относительно оси $Oy$, что указывает на четность функции. В точке $(0, 1)$ наблюдается излом (пик).

Рассмотрим правую часть графика при $x \ge 0$. Выделим на ней точки: $(0, 1)$, $(1, 1/2)$, $(2, 1/4)$. Эта последовательность значений характерна для показательной функции $y = a^x$. Найдем основание $a$, используя точку $(1, 1/2)$:

$1/2 = a^1$, откуда $a = 1/2$.

Таким образом, для $x \ge 0$ формула функции $y = (1/2)^x$. Проверим другие точки:

При $x=0$, $y = (1/2)^0 = 1$. Верно.

При $x=2$, $y = (1/2)^2 = 1/4$. Верно.

Функцию $y = (1/2)^x$ можно также записать как $y = 2^{-x}$.

Учитывая четность функции, для получения формулы, описывающей весь график, необходимо заменить аргумент $x$ на его модуль $|x|$.

Ответ: $y = 2^{-|x|}$