Номер 24.20, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

$\begin{cases} \log_2 x + \log_4 y = 4, \\ \log_4 x + \log_2 y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \log_3 x + \log_9 y = 5, \\ 2\log_9 x - \log_3 y = -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_4 x = y - 1, \\ \frac{y}{x^6} = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y^{\frac{1}{x}} = 10, \\ \lg y = \frac{1}{x}. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \log_2 x + \log_4 y = 4, \\ \log_4 x + \log_2 y = 5; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$, $y > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:

$\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2}$

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$

Подставим эти выражения в исходную систему:

$ \begin{cases} \log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 y = 4, \\ \frac{1}{2}\log_2 x + \log_2 y = 5; \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = \log_2 x$ и $v = \log_2 y$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u + \frac{1}{2}v = 4, \\ \frac{1}{2}u + v = 5; \end{cases} $

Для удобства умножим оба уравнения на 2:

$ \begin{cases} 2u + v = 8, \\ u + 2v = 10; \end{cases} $

Решим эту систему линейных уравнений. Из первого уравнения выразим $v = 8 - 2u$ и подставим во второе:

$u + 2(8 - 2u) = 10$

$u + 16 - 4u = 10$

$-3u = -6$

$u = 2$

Теперь найдем $v$:

$v = 8 - 2u = 8 - 2(2) = 8 - 4 = 4$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$u = \log_2 x \implies 2 = \log_2 x \implies x = 2^2 = 4$.

$v = \log_2 y \implies 4 = \log_2 y \implies y = 2^4 = 16$.

Найденные значения $x=4$ и $y=16$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 16)$.

2) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \log_3 x + \log_9 y = 5, \\ 2\log_9 x - \log_3 y = -1; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 3:

$\log_9 y = \frac{\log_3 y}{\log_3 9} = \frac{\log_3 y}{2}$

$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$

Подставим в систему:

$ \begin{cases} \log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 y = 5, \\ 2(\frac{1}{2}\log_3 x) - \log_3 y = -1; \end{cases} $

$ \begin{cases} \log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 y = 5, \\ \log_3 x - \log_3 y = -1; \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = \log_3 x$ и $v = \log_3 y$:

$ \begin{cases} u + \frac{1}{2}v = 5, \\ u - v = -1; \end{cases} $

Из второго уравнения $u = v - 1$. Подставим в первое:

$(v - 1) + \frac{1}{2}v = 5$

$\frac{3}{2}v = 6$

$v = 4$

Теперь найдем $u$:

$u = v - 1 = 4 - 1 = 3$.

Вернемся к исходным переменным:

$u = \log_3 x \implies 3 = \log_3 x \implies x = 3^3 = 27$.

$v = \log_3 y \implies 4 = \log_3 y \implies y = 3^4 = 81$.

Найденные значения $x=27$ и $y=81$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(27, 81)$.

3) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{4}} x = y - 1, \\ \frac{y}{x^6} = 4; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$. Из второго уравнения $\frac{y}{x^6} = 4 > 0$, и так как $x^6 > 0$, то и $y > 0$.

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = \left(\frac{1}{4}\right)^{y-1} = (4^{-1})^{y-1} = 4^{1-y}$.

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 4x^6$.

Подставим выражение для $x$ во второе уравнение:

$y = 4 \cdot (4^{1-y})^6 = 4 \cdot 4^{6(1-y)} = 4^1 \cdot 4^{6-6y} = 4^{1+6-6y} = 4^{7-6y}$.

Мы получили уравнение $y = 4^{7-6y}$. Это трансцендентное уравнение, которое не решается в элементарных функциях. Можно показать, что у него есть единственный корень. Функция $f(y) = y$ является возрастающей, а функция $g(y) = 4^{7-6y}$ — убывающей. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. При $y=1$ имеем $1 < 4^{7-6} = 4$. При $y=\frac{7}{6}$ имеем $\frac{7}{6} > 4^{7-7} = 1$. Это означает, что корень уравнения $y_0$ существует и находится в интервале $(1, \frac{7}{6})$. Найти его точное значение аналитически невозможно, оно может быть найдено только численными методами.

Ответ: Решение системы сводится к решению трансцендентного уравнения $y = 4^{7-6y}$, которое не имеет точного аналитического решения в элементарных функциях. Единственный корень этого уравнения $y_0 \in (1, 7/6)$, а соответствующее значение $x_0 = (y_0/4)^{1/6}$.

4) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} y^{\frac{1}{x}} = 10, \\ \lg y = \frac{1}{x}; \end{cases} $

ОДЗ: $y > 0$, $x \neq 0$.

Подставим выражение для $\frac{1}{x}$ из второго уравнения в первое:

$y^{\lg y} = 10$.

Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 10:

$\lg(y^{\lg y}) = \lg(10)$.

Используя свойство логарифма степени $\log(a^b) = b \log a$, получаем:

$(\lg y) \cdot (\lg y) = 1$

$(\lg y)^2 = 1$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $\lg y = 1 \implies y = 10^1 = 10$.

2) $\lg y = -1 \implies y = 10^{-1} = \frac{1}{10}$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ из уравнения $\frac{1}{x} = \lg y$.

1) Если $y=10$, то $\frac{1}{x} = \lg 10 = 1$, откуда $x=1$. Получаем решение $(1, 10)$.

2) Если $y=\frac{1}{10}$, то $\frac{1}{x} = \lg\left(\frac{1}{10}\right) = -1$, откуда $x=-1$. Получаем решение $(-1, \frac{1}{10})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 10)$, $(-1, \frac{1}{10})$.