Номер 25.2, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.2. Найдите наибольшее целое значение x, удовлетворяющее не-равенству:

1) $5^{x-1} < 25;$

2) $3^{3-x} > 9;$

3) $6^{2x} < \frac{1}{36};$

4) $(\frac{1}{2})^{2x-2} > 4;$

5) $(\frac{1}{3})^{5-3x} < 81;$

6) $(\frac{1}{2})^{2x-3} > (\frac{1}{2})^2.$

1) Решим неравенство $5^{x-1} < 25$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию. В данном случае это основание 5.

Представим число 25 как степень пятерки: $25 = 5^2$.

Неравенство принимает вид: $5^{x-1} < 5^2$.

Поскольку основание степени $5$ больше 1, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x - 1 < 2$

$x < 2 + 1$

$x < 3$

Мы ищем наибольшее целое значение $x$, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, которые меньше 3, это ..., 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $3^{3-x} > 9$.

Приведем обе части к основанию 3.

Представим число 9 как степень тройки: $9 = 3^2$.

Неравенство принимает вид: $3^{3-x} > 3^2$.

Основание степени $3$ больше 1, поэтому знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$3 - x > 2$

$-x > 2 - 3$

$-x > -1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < 1$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше 1, это 0.

Ответ: 0

3) Решим неравенство $6^{2x} < \frac{1}{36}$.

Приведем обе части к основанию 6.

Представим дробь $\frac{1}{36}$ как степень шестерки: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $6^{2x} < 6^{-2}$.

Основание степени $6$ больше 1, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x < -2$

$x < -1$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше -1, это -2.

Ответ: -2

4) Решим неравенство $(\frac{1}{2})^{2x-2} > 4$.

Приведем обе части к одному основанию. Можно использовать основание 2 или $\frac{1}{2}$. Выберем основание 2.

Левая часть: $(\frac{1}{2})^{2x-2} = (2^{-1})^{2x-2} = 2^{-(2x-2)} = 2^{2-2x}$.

Правая часть: $4 = 2^2$.

Неравенство принимает вид: $2^{2-2x} > 2^2$.

Основание степени $2$ больше 1, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2 - 2x > 2$

$-2x > 2 - 2$

$-2x > 0$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства:

$x < 0$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше 0, это -1.

Ответ: -1

5) Решим неравенство $(\frac{1}{3})^{5-3x} < 81$.

Приведем обе части к основанию 3.

Левая часть: $(\frac{1}{3})^{5-3x} = (3^{-1})^{5-3x} = 3^{-(5-3x)} = 3^{3x-5}$.

Правая часть: $81 = 3^4$.

Неравенство принимает вид: $3^{3x-5} < 3^4$.

Основание степени $3$ больше 1, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$3x - 5 < 4$

$3x < 4 + 5$

$3x < 9$

$x < 3$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше 3, это 2.

Ответ: 2

6) Решим неравенство $(\frac{1}{2})^{2x-3} > (\frac{1}{2})^2$.

Обе части неравенства уже имеют одинаковое основание $\frac{1}{2}$.

Поскольку основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$2x - 3 < 2$

$2x < 2 + 3$

$2x < 5$

$x < \frac{5}{2}$ или $x < 2.5$

Наибольшее целое значение $x$, которое меньше 2.5, это 2.

Ответ: 2