Номер 25.8, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.8. Решите системы неравенств:

1) $$\begin{cases} \frac{x-5}{7^2} < 7\sqrt{7}, \\ \left(\frac{3}{2}\right)^{2x-3} < \frac{3}{8}; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} \left(\frac{3}{5}\right)^{x^2+5x} > 1, \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2-2x-2} < 27. \end{cases}$$

1) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x-5}{14} < 7\sqrt{7}, \\ (\frac{3}{2})^{2x-3} < 3\frac{3}{8} \end{cases} $$

Примечание: в первом неравенстве исходного изображения выражение в знаменателе левой части $\frac{x-5}{7\ \ 2}$ трактуется как произведение $7 \cdot 2 = 14$.

Решим первое неравенство:

$\frac{x-5}{14} < 7\sqrt{7}$

Умножим обе части неравенства на 14 (так как 14 > 0, знак неравенства не меняется):

$x-5 < 14 \cdot 7\sqrt{7}$

$x-5 < 98\sqrt{7}$

$x < 5 + 98\sqrt{7}$

Решим второе неравенство:

$(\frac{3}{2})^{2x-3} < 3\frac{3}{8}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в правой части в неправильную:

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$

Теперь представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$:

$\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3$

Подставим это в неравенство:

$(\frac{3}{2})^{2x-3} < (\frac{3}{2})^3$

Поскольку основание степени $\frac{3}{2}$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Это значит, что для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$2x-3 < 3$

$2x < 3 + 3$

$2x < 6$

$x < 3$

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств, то есть решить систему:

$$ \begin{cases} x < 5 + 98\sqrt{7} \\ x < 3 \end{cases} $$

Оценим значение $5 + 98\sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7} > 0$, очевидно, что $98\sqrt{7} > 0$, и, следовательно, $5 + 98\sqrt{7} > 5$. Поскольку $5 > 3$, то $5 + 98\sqrt{7} > 3$. Таким образом, второе неравенство ($x < 3$) является более строгим. Пересечением двух интервалов $(-\infty; 5 + 98\sqrt{7})$ и $(-\infty; 3)$ будет интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: $(-\infty; 3)$

2) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (\frac{3}{5})^{x^2+5x} > 1, \\ (\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < 27 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$(\frac{3}{5})^{x^2+5x} > 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$(\frac{3}{5})^{x^2+5x} > (\frac{3}{5})^0$

Поскольку основание степени $\frac{3}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2+5x < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2+5x=0$:

$x(x+5) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.

Графиком функции $y=x^2+5x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-5; 0)$.

Решим второе неравенство:

$(\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < 27$

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, $\frac{1}{3}$:

$27 = 3^3 = ((\frac{1}{3})^{-1})^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$

Подставим это в неравенство:

$(\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < (\frac{1}{3})^{-3}$

Поскольку основание степени $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$x^2-2x-2 > -3$

$x^2-2x+1 > 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(x-1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, кроме нуля, строго положителен. Выражение $(x-1)^2$ равно нулю при $x=1$ и положительно при всех остальных значениях $x$.

Решение второго неравенства: $x \neq 1$, что в виде интервалов записывается как $(-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-5; 0)$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

Интервал $(-5; 0)$ полностью содержится в множестве $(-\infty; 1) \cup (1; \infty)$, так как число 1 не принадлежит интервалу $(-5; 0)$. Следовательно, пересечением является сам интервал $(-5; 0)$.

Ответ: $(-5; 0)$