Номер 25.15, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.15. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x-2} > x-2;$

2) $\sqrt{2x+1} > x-2;$

3) $\sqrt{6x+16} > x;$

4) $\sqrt{4-x} < 2-x.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x-2} > x-2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x-2$. Неравенство примет вид $\sqrt{t} > t$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $t$ определяется условием $t \ge 0$.

Поскольку обе части неравенства $\sqrt{t} > t$ неотрицательны при $t \ge 0$, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{t})^2 > t^2$

$t > t^2$

$t - t^2 > 0$

$t(1-t) > 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $t(1-t)=0$ равны $t_1=0$ и $t_2=1$. Так как коэффициент при $t^2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз, и неравенство выполняется между корнями.

Таким образом, решение для $t$ есть $0 < t < 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = x-2$:

$0 < x-2 < 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x-2 < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(2, 3)$.

Ответ: $x \in (2, 3)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{2x+1} > x-2$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

Первая система рассматривает случай, когда правая часть отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области определения корня, так как квадратный корень всегда неотрицателен.

$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-2 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/2 \\ x < 2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-1/2, 2)$.

Вторая система рассматривает случай, когда правая часть неотрицательна. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат.

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 2x+1 > (x-2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ 2x+1 > x^2-4x+4 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 6x + 3 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 3 = 0$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$.

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $x^2 - 6x + 3 < 0$ есть $x \in (3-\sqrt{6}, 3+\sqrt{6})$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 2$. Так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то $3-\sqrt{6} \approx 3-2.45 = 0.55$. Следовательно, $3-\sqrt{6} < 2$.

Пересечением интервалов $(3-\sqrt{6}, 3+\sqrt{6})$ и $[2, \infty)$ является промежуток $[2, 3+\sqrt{6})$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений двух систем:

$[-1/2, 2) \cup [2, 3+\sqrt{6}) = [-1/2, 3+\sqrt{6})$.

Ответ: $x \in [-1/2, 3+\sqrt{6})$.

3) Решим неравенство $\sqrt{6x+16} > x$.

Это неравенство также имеет вид $\sqrt{f(x)} > g(x)$ и решается аналогично предыдущему пункту, рассматривая два случая.

Первый случай: правая часть отрицательна ($x < 0$).

$\begin{cases} 6x+16 \ge 0 \\ x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x \ge -16 \\ x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8/3 \\ x < 0 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-8/3, 0)$.

Второй случай: правая часть неотрицательна ($x \ge 0$).

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 6x+16 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2-6x-16 < 0 \end{cases}$

Решим квадратное неравенство $x^2-6x-16 < 0$. Корни уравнения $x^2-6x-16=0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2=8$.

Ветви параболы направлены вверх, значит решение неравенства $x \in (-2, 8)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 0$: $x \in [0, 8)$.

Объединим решения обоих случаев:

$[-8/3, 0) \cup [0, 8) = [-8/3, 8)$.

Ответ: $x \in [-8/3, 8)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{4-x} < 2-x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе из трех условий:

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$.

2. Правая часть должна быть строго положительной (так как она больше корня, который неотрицателен): $g(x) > 0$.

3. Можно возвести в квадрат обе части: $f(x) < (g(x))^2$.

Запишем систему для нашего неравенства:

$\begin{cases} 4-x \ge 0 \\ 2-x > 0 \\ 4-x < (2-x)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. $4-x \ge 0 \implies x \le 4$.

2. $2-x > 0 \implies x < 2$.

3. $4-x < 4 - 4x + x^2 \implies 0 < x^2 - 3x \implies x(x-3) > 0$.

Решением неравенства $x(x-3) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условия $x \le 4$ и $x < 2$ вместе дают $x < 2$.

Осталось найти пересечение $x < 2$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Пересечением множеств $(-\infty, 2)$ и $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$ является интервал $(-\infty, 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.