Номер 25.10, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите наименьшие целые значения x, удовлетворяющие неравенствам (25.10–25.11):

25.10. 1) $7^{2x-1} - 7^{x+1} < 7^{x-1} - 7$;

2) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$;

3) $2^{2x+1} - 2^{x+3} < 2^{x+1} - 8$;

4) $5^{2x} - 5^{x+2} < 5^x - 25$.

1) Исходное неравенство: $7^{2x-1} - 7^{x+1} < 7^{x-1} - 7$.

Используя свойства степеней, преобразуем неравенство: $7^{2x} \cdot 7^{-1} - 7^x \cdot 7^1 < 7^x \cdot 7^{-1} - 7$, что равносильно $\frac{1}{7}(7^x)^2 - 7 \cdot 7^x < \frac{1}{7} \cdot 7^x - 7$.

Введем замену $y = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$. Неравенство принимает вид: $\frac{1}{7}y^2 - 7y < \frac{1}{7}y - 7$.

Перенесем все члены в левую часть: $\frac{1}{7}y^2 - 7y - \frac{1}{7}y + 7 < 0$.

Приведем подобные слагаемые: $\frac{1}{7}y^2 - \frac{50}{7}y + 7 < 0$.

Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от дробей: $y^2 - 50y + 49 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $y^2 - 50y + 49 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 50, а их произведение равно 49. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 49$.

Парабола $f(y) = y^2 - 50y + 49$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $f(y) < 0$ выполняется между корнями: $1 < y < 49$.

Возвращаемся к замене $y = 7^x$: $1 < 7^x < 49$.

Представим границы интервала в виде степеней числа 7: $7^0 < 7^x < 7^2$.

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей: $0 < x < 2$.

Наименьшее целое число $x$, удовлетворяющее этому неравенству, это 1.

Ответ: 1

2) Исходное неравенство: $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$.

Преобразуем неравенство: $3^{2x} \cdot 3^2 - 3^x \cdot 3^4 < 3^x - 9$, что равносильно $9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x < 3^x - 9$.

Введем замену $y = 3^x$, где $y > 0$. Получаем: $9y^2 - 81y < y - 9$.

Перенесем все члены в левую часть: $9y^2 - 81y - y + 9 < 0$, что дает $9y^2 - 82y + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $9y^2 - 82y + 9 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{82 - 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $y_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$.

Решением неравенства $9y^2 - 82y + 9 < 0$ является интервал между корнями: $\frac{1}{9} < y < 9$.

Возвращаемся к замене $y = 3^x$: $\frac{1}{9} < 3^x < 9$.

Представим границы как степени числа 3: $3^{-2} < 3^x < 3^2$.

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $-2 < x < 2$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -1, 0, 1. Наименьшее из них -1.

Ответ: -1

3) Исходное неравенство: $2^{2x+1} - 2^{x+3} < 2^{x+1} - 8$.

Преобразуем неравенство: $2^{2x} \cdot 2^1 - 2^x \cdot 2^3 < 2^x \cdot 2^1 - 8$, что равносильно $2 \cdot (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x < 2 \cdot 2^x - 8$.

Введем замену $y = 2^x$, где $y > 0$: $2y^2 - 8y < 2y - 8$.

Перенесем все члены влево: $2y^2 - 10y + 8 < 0$.

Разделим обе части на 2: $y^2 - 5y + 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.

Решением неравенства является интервал между корнями: $1 < y < 4$.

Возвращаемся к замене $y = 2^x$: $1 < 2^x < 4$.

Представим границы как степени числа 2: $2^0 < 2^x < 2^2$.

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $0 < x < 2$.

Наименьшее целое число $x$ из этого интервала - это 1.

Ответ: 1

4) Исходное неравенство: $5^{2x} - 5^{x+2} < 5^x - 25$.

Преобразуем неравенство: $(5^x)^2 - 5^x \cdot 5^2 < 5^x - 25$, что равносильно $(5^x)^2 - 25 \cdot 5^x < 5^x - 25$.

Введем замену $y = 5^x$, где $y > 0$: $y^2 - 25y < y - 25$.

Перенесем все члены влево: $y^2 - 26y + 25 < 0$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 26y + 25 = 0$. По теореме Виета, $y_1 = 1$, $y_2 = 25$.

Решением неравенства является интервал между корнями: $1 < y < 25$.

Возвращаемся к замене $y = 5^x$: $1 < 5^x < 25$.

Представим границы как степени числа 5: $5^0 < 5^x < 5^2$.

Так как основание $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $0 < x < 2$.

Наименьшее целое число $x$ из этого интервала - это 1.

Ответ: 1