Номер 25.7, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.7. 1) $5^{2x + 1} - 5^{x + 2} < 5^x - 5$;

2) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$;

3) $250 \cdot 5^{3 - x} - 2 \cdot 5^{x - 3} > 0$;

4) $147 \cdot 7^{x - 2} - 3 \cdot 7^{2 - x} < 0$.

1) Решим неравенство $5^{2x+1} - 5^{x+2} < 5^x - 5$.

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть:

$5^{2x} \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2 < 5^x - 5$

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x < 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x - 5^x + 5 < 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 < 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.

Получим квадратное неравенство относительно $t$:

$5t^2 - 26t + 5 < 0$

Для решения найдем корни соответствующего уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ и $t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.

Графиком функции $y = 5t^2 - 26t + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Таким образом, решение неравенства: $\frac{1}{5} < t < 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену $t = 5^x$:

$\frac{1}{5} < 5^x < 5$

Представим концы интервала в виде степеней с основанием 5:

$5^{-1} < 5^x < 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки:

$-1 < x < 1$.

Ответ: $(-1; 1)$.

2) Решим неравенство $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$.

Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Неравенство можно переписать в виде:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

Получим квадратное неравенство:

$t^2 - 3t + 2 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Графиком функции $y=t^2 - 3t + 2$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $1 < t < 2$.

Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 < 2^x < 2$

Представим числа 1 и 2 в виде степеней с основанием 2:

$2^0 < 2^x < 2^1$

Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому для показателей степени знаки неравенства сохраняются:

$0 < x < 1$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) Решим неравенство $250 \cdot 5^{3-x} - 2 \cdot 5^{x-3} > 0$.

Перенесем второй член в правую часть:

$250 \cdot 5^{3-x} > 2 \cdot 5^{x-3}$

Используем свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$:

$250 \cdot \frac{5^3}{5^x} > 2 \cdot \frac{5^x}{5^3}$

$250 \cdot \frac{125}{5^x} > 2 \cdot \frac{5^x}{125}$

Умножим обе части неравенства на $125 \cdot 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится:

$250 \cdot 125 \cdot 125 > 2 \cdot 5^x \cdot 5^x$

$250 \cdot 125^2 > 2 \cdot (5^x)^2$

Разделим обе части на 2:

$125 \cdot 125^2 > (5^x)^2$

$125^3 > (5^x)^2$

Представим 125 как $5^3$:

$(5^3)^3 > (5^x)^2$

$5^9 > 5^{2x}$

Так как основание $5 > 1$, можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$9 > 2x$

$x < \frac{9}{2}$ или $x < 4.5$.

Ответ: $(-\infty; 4.5)$.

4) Решим неравенство $147 \cdot 7^{x-2} - 3 \cdot 7^{2-x} < 0$.

Перенесем второй член в правую часть:

$147 \cdot 7^{x-2} < 3 \cdot 7^{2-x}$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$147 \cdot \frac{7^x}{7^2} < 3 \cdot \frac{7^2}{7^x}$

$147 \cdot \frac{7^x}{49} < 3 \cdot \frac{49}{7^x}$

Поскольку $147 / 49 = 3$, получаем:

$3 \cdot 7^x < 3 \cdot \frac{49}{7^x}$

Разделим обе части на 3:

$7^x < \frac{49}{7^x}$

Умножим обе части на $7^x$. Так как $7^x > 0$, знак неравенства не изменится:

$(7^x)^2 < 49$

Запишем 49 как $7^2$:

$7^{2x} < 7^2$

Так как основание $7 > 1$, можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$2x < 2$

$x < 1$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.