Номер 25.12, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите неравенства (25.12–25.13):

25.12. 1) $2^{\sqrt{x+1}-1} < 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}}$;

2) $2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}-5} > 3^{1-\sqrt{x+1}}$;

3) $5^{\sqrt{x-2}} > 5^{1-\sqrt{x-2}} + 4$;

4) $2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} > 7^{1-\sqrt{2x-3}} + 13$.

1) Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства $2^{\sqrt{x+1}} - 1 < 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}}$ определяется условием $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Преобразуем неравенство: $2^{\sqrt{x+1}} - 1 < 3 \cdot 2^2 \cdot 2^{-\sqrt{x+1}}$, что равносильно $2^{\sqrt{x+1}} - 1 < \frac{12}{2^{\sqrt{x+1}}}$. Сделаем замену $t = 2^{\sqrt{x+1}}$. Поскольку $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $t \ge 2^0 = 1$. Неравенство принимает вид $t - 1 < \frac{12}{t}$. Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$: $t^2 - t < 12$, или $t^2 - t - 12 < 0$. Корни квадратного уравнения $t^2 - t - 12 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 4$. Решением неравенства является интервал $-3 < t < 4$. Учитывая условие $t \ge 1$, получаем $1 \le t < 4$. Вернемся к исходной переменной: $1 \le 2^{\sqrt{x+1}} < 4$, или $2^0 \le 2^{\sqrt{x+1}} < 2^2$. Так как основание $2 > 1$, переходим к показателям: $0 \le \sqrt{x+1} < 2$. Возводя в квадрат, получаем $0 \le x+1 < 4$, что дает $-1 \le x < 3$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $[-1; 3)$.

2) ОДЗ неравенства $2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}} - 5 > 3^{1-\sqrt{x+1}}$ определяется условием $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Преобразуем правую часть: $2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}} - 5 > \frac{3}{3^{\sqrt{x+1}}}$. Сделаем замену $t = 3^{\sqrt{x+1}}$. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $t \ge 3^0 = 1$. Неравенство для переменной $t$ имеет вид $2t - 5 > \frac{3}{t}$. Умножим обе части на $t > 0$, получим $2t^2 - 5t > 3$, или $2t^2 - 5t - 3 > 0$. Корни квадратного уравнения $2t^2 - 5t - 3 = 0$ равны $t_1 = 3$ и $t_2 = -1/2$. Решением неравенства является объединение интервалов $t < -1/2$ и $t > 3$. Учитывая условие $t \ge 1$, получаем $t > 3$. Выполним обратную замену: $3^{\sqrt{x+1}} > 3^1$. Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $\sqrt{x+1} > 1$. Возводим обе неотрицательные части в квадрат: $x+1 > 1$, откуда $x > 0$. Данное решение входит в ОДЗ.

Ответ: $(0; +\infty)$.

3) ОДЗ неравенства $5^{\sqrt{x-2}} > 5^{1-\sqrt{x-2}} + 4$ определяется условием $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Преобразуем неравенство: $5^{\sqrt{x-2}} > \frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}} + 4$. Пусть $t = 5^{\sqrt{x-2}}$. Поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $t \ge 5^0 = 1$. Подставляем $t$ в неравенство: $t > \frac{5}{t} + 4$. Так как $t > 0$, умножим на $t$: $t^2 > 5 + 4t$, что равносильно $t^2 - 4t - 5 > 0$. Корни уравнения $t^2 - 4t - 5 = 0$ равны $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$. Решением неравенства является $t < -1$ или $t > 5$. Учитывая ограничение $t \ge 1$, получаем $t > 5$. Делаем обратную замену: $5^{\sqrt{x-2}} > 5^1$. Так как основание $5 > 1$, то $\sqrt{x-2} > 1$. Возводим обе части в квадрат: $x-2 > 1$, откуда $x > 3$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(3; +\infty)$.

4) ОДЗ неравенства $2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} > 7^{1-\sqrt{2x-3}} + 13$ определяется условием $2x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 1.5$. Преобразуем неравенство: $2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} > \frac{7}{7^{\sqrt{2x-3}}} + 13$. Введем замену $t = 7^{\sqrt{2x-3}}$. Так как $\sqrt{2x-3} \ge 0$, то $t \ge 7^0 = 1$. Неравенство принимает вид $2t > \frac{7}{t} + 13$. Умножим на $t > 0$: $2t^2 > 7 + 13t$, или $2t^2 - 13t - 7 > 0$. Корни квадратного уравнения $2t^2 - 13t - 7 = 0$ равны $t_1 = 7$ и $t_2 = -1/2$. Решением неравенства является $t < -1/2$ или $t > 7$. С учетом ограничения $t \ge 1$, получаем $t > 7$. Возвращаемся к переменной $x$: $7^{\sqrt{2x-3}} > 7^1$. Так как основание $7 > 1$, то $\sqrt{2x-3} > 1$. Возводим в квадрат: $2x-3 > 1$, откуда $2x > 4$ и $x > 2$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2; +\infty)$.