Номер 25.5, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.5.1) $(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{9}{49})^{x+1.5}$;

2) $(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > (\frac{8}{27})^{x+2}$;

3) $(\frac{1}{27})^{x^2+1} > (\frac{1}{9})^{-x^2+8x}$;

4) $(0,2)^{\frac{6x-1}{3-x}} < (\frac{1}{5})^2$;

5) $(\frac{1}{7})^{\frac{x}{1-x}} > 49$;

6) $(\frac{1}{2})^{\frac{x-1}{x+2}} > 4.

1) $(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{9}{49})^{x+1.5}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{3}{7}$. Заметим, что $\frac{9}{49} = (\frac{3}{7})^2$.

$(\frac{3}{7})^{x^2} > ((\frac{3}{7})^2)^{x+1.5}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{3}{7})^{2(x+1.5)}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{3}{7})^{2x+3}$

Так как основание степени $a = \frac{3}{7}$ и $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x^2 < 2x+3$

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется между корнями.

$x \in (-1; 3)$

Ответ: $x \in (-1; 3)$

2) $(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > (\frac{8}{27})^{x+2}$

Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$. Заметим, что $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$.

$(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > ((\frac{2}{3})^3)^{x+2}$

$(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > (\frac{2}{3})^{3(x+2)}$

$(\frac{2}{3})^{x^2+4x} > (\frac{2}{3})^{3x+6}$

Так как основание степени $a = \frac{2}{3}$ и $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Меняем знак неравенства.

$x^2+4x < 3x+6$

$x^2 + x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + x - 6$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется между корнями.

$x \in (-3; 2)$

Ответ: $x \in (-3; 2)$

3) $(\frac{1}{27})^{x^2+1} > (\frac{1}{9})^{-x^2+8x}$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$. Заметим, что $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ и $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.

$((\frac{1}{3})^3)^{x^2+1} > ((\frac{1}{3})^2)^{-x^2+8x}$

$(\frac{1}{3})^{3x^2+3} > (\frac{1}{3})^{-2x^2+16x}$

Так как основание $a = \frac{1}{3}$ и $0 < a < 1$, меняем знак неравенства.

$3x^2+3 < -2x^2+16x$

$5x^2 - 16x + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 16x + 3 = 0$.

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{16 - 14}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{16 + 14}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Парабола $y = 5x^2 - 16x + 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

$x \in (\frac{1}{5}; 3)$

Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; 3)$

4) $(0,2)^{\frac{6x-1}{3-x}} < (\frac{1}{5})^2$

Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $0,2 = \frac{1}{5}$.

$(\frac{1}{5})^{\frac{6x-1}{3-x}} < (\frac{1}{5})^2$

Так как основание $a = \frac{1}{5}$ и $0 < a < 1$, меняем знак неравенства.

$\frac{6x-1}{3-x} > 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений: $x \neq 3$.

$\frac{6x-1}{3-x} - 2 > 0$

$\frac{6x-1 - 2(3-x)}{3-x} > 0$

$\frac{6x-1 - 6 + 2x}{3-x} > 0$

$\frac{8x-7}{3-x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x = \frac{7}{8}$ и $x = 3$. Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки на интервалах.

Интервалы: $(-\infty; \frac{7}{8})$, $(\frac{7}{8}; 3)$, $(3; +\infty)$.

При $x=0$: $\frac{-7}{3} < 0$.

При $x=1$: $\frac{1}{2} > 0$.

При $x=4$: $\frac{25}{-1} < 0$.

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля.

$x \in (\frac{7}{8}; 3)$

Ответ: $x \in (\frac{7}{8}; 3)$

5) $(\frac{1}{7})^{\frac{x}{1-x}} > 49$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{7}$. Заметим, что $49 = 7^2 = (\frac{1}{7})^{-2}$.

$(\frac{1}{7})^{\frac{x}{1-x}} > (\frac{1}{7})^{-2}$

Так как основание $a = \frac{1}{7}$ и $0 < a < 1$, меняем знак неравенства.

$\frac{x}{1-x} < -2$

Область допустимых значений: $x \neq 1$.

$\frac{x}{1-x} + 2 < 0$

$\frac{x + 2(1-x)}{1-x} < 0$

$\frac{x + 2 - 2x}{1-x} < 0$

$\frac{2-x}{1-x} < 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, знак неравенства не изменится: $\frac{x-2}{x-1} < 0$.

Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=2$ и $x=1$. Неравенство выполняется между корнями.

$x \in (1; 2)$

Ответ: $x \in (1; 2)$

6) $(\frac{1}{2})^{\frac{x-1}{x+2}} > 4$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{2}$. Заметим, что $4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$.

$(\frac{1}{2})^{\frac{x-1}{x+2}} > (\frac{1}{2})^{-2}$

Так как основание $a = \frac{1}{2}$ и $0 < a < 1$, меняем знак неравенства.

$\frac{x-1}{x+2} < -2$

Область допустимых значений: $x \neq -2$.

$\frac{x-1}{x+2} + 2 < 0$

$\frac{x-1 + 2(x+2)}{x+2} < 0$

$\frac{x-1 + 2x + 4}{x+2} < 0$

$\frac{3x+3}{x+2} < 0$

$\frac{3(x+1)}{x+2} < 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=-1$ и $x=-2$. Неравенство выполняется между корнями.

$x \in (-2; -1)$

Ответ: $x \in (-2; -1)$