Номер 26.2, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.2.1)

1) $log_2(2x + 5) > log_2(x - 7)$; 2) $log_5(3x - 2) > log_5(x + 6)$;

3) $log_3(3x - 1) < log_3(2x + 3)$; 4) $log_{\frac{1}{9}}(4x - 3) > log_{\frac{1}{9}}(x + 3)$.

1) Дано неравенство $\log_2(2x + 5) > \log_2(x - 7)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} 2x + 5 > 0 \\ x - 7 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x > -5 \\ x > 7 \end{cases}$

$\begin{cases} x > -2.5 \\ x > 7 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 7$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (7; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$2x + 5 > x - 7$

$2x - x > -7 - 5$

$x > -12$

Найдем пересечение полученного решения $x > -12$ с ОДЗ $x > 7$.

$\begin{cases} x > -12 \\ x > 7 \end{cases}$

Общим решением является $x > 7$.

Ответ: $x \in (7; +\infty)$.

2) Дано неравенство $\log_5(3x - 2) > \log_5(x + 6)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x > 2 \\ x > -6 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x > -6 \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{2}{3}$. ОДЗ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

Основание логарифма $5 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам:

$3x - 2 > x + 6$

$3x - x > 6 + 2$

$2x > 8$

$x > 4$

Найдем пересечение решения $x > 4$ с ОДЗ $x > \frac{2}{3}$.

$\begin{cases} x > 4 \\ x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Общим решением является $x > 4$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

3) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(3x - 1) < \log_{\frac{1}{3}}(2x + 3)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x > 1 \\ 2x > -3 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{1}{3}$. ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(t)$ является убывающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 1 > 2x + 3$

$3x - 2x > 3 + 1$

$x > 4$

Найдем пересечение решения $x > 4$ с ОДЗ $x > \frac{1}{3}$.

$\begin{cases} x > 4 \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$

Общим решением является $x > 4$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

4) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{9}}(4x - 3) > \log_{\frac{1}{9}}(x + 3)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x - 3 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x > 3 \\ x > -3 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x > -3 \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{3}{4}$. ОДЗ: $x \in (\frac{3}{4}; +\infty)$.

Основание логарифма $0 < \frac{1}{9} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$4x - 3 < x + 3$

$4x - x < 3 + 3$

$3x < 6$

$x < 2$

Найдем пересечение решения $x < 2$ с ОДЗ $x > \frac{3}{4}$.

$\begin{cases} x < 2 \\ x > \frac{3}{4} \end{cases}$

Общим решением является $\frac{3}{4} < x < 2$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; 2)$.