Номер 26.8, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.8. 1) $2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} < \frac{1}{4}$;

2) $3^{\log_3 \frac{x-1}{x+1}} < \frac{1}{9}$;

3) $(5x+1) \lg(4-x) < 0$;

4) $(3-x) \lg(2x-1) > 0$.

1) Решим неравенство $2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} < \frac{1}{4}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$\frac{x-1}{3x+3} > 0$

$\frac{x-1}{3(x+1)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $x=1$. Корни знаменателя: $x=-1$.

На числовой оси отмечаем точки -1 и 1, которые разбивают ее на интервалы. Проверяем знаки на интервалах: $(-\infty; -1)$: $(+)$; $(-1; 1)$: $(-)$; $(1; +\infty)$: $(+)$.

Неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим исходное неравенство. Представим правую часть как степень с основанием 2: $\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$.

$2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} < 2^{-2}$

Так как основание степени $2 > 1$, то для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$\log_3 \frac{x-1}{3x+3} < -2$

Представим -2 как логарифм по основанию 3: $-2 = \log_3 3^{-2} = \log_3 \frac{1}{9}$.

$\log_3 \frac{x-1}{3x+3} < \log_3 \frac{1}{9}$

Так как основание логарифма $3 > 1$, то для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-1}{3x+3} < \frac{1}{9}$

Решим это рациональное неравенство:

$\frac{x-1}{3(x+1)} - \frac{1}{9} < 0$

$\frac{3(x-1) - (x+1)}{9(x+1)} < 0$

$\frac{3x - 3 - x - 1}{9(x+1)} < 0$

$\frac{2x - 4}{9(x+1)} < 0$

$\frac{x-2}{x+1} < 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется для $x \in (-1; 2)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(-1; 2) \cap ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)) = (1; 2)$.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

2) Решим неравенство $3^{\log_3 \frac{x-1}{x+1}} < \frac{1}{9}$.

ОДЗ: $\frac{x-1}{x+1} > 0$.

Методом интервалов находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим левую часть неравенства:

$\frac{x-1}{x+1} < \frac{1}{9}$

Решим полученное рациональное неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} - \frac{1}{9} < 0$

$\frac{9(x-1) - (x+1)}{9(x+1)} < 0$

$\frac{9x - 9 - x - 1}{9(x+1)} < 0$

$\frac{8x - 10}{9(x+1)} < 0$

$\frac{4x - 5}{x+1} < 0$

Корни числителя: $x = 5/4$. Корень знаменателя: $x=-1$.

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-1; 5/4)$.

Пересекаем это решение с ОДЗ:

$(-1; 5/4) \cap ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)) = (1; 5/4)$.

Ответ: $x \in (1; 5/4)$.

3) Решим неравенство $(5x+1)\lg(4-x) < 0$.

ОДЗ: $4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.

Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $5x+1 > 0$ и $\lg(4-x) < 0$.

$5x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/5$.

$\lg(4-x) < 0 \Rightarrow \lg(4-x) < \lg(1) \Rightarrow 4-x < 1 \Rightarrow x > 3$.

Система $\begin{cases} x > -1/5 \\ x > 3 \end{cases}$ дает решение $x > 3$. С учетом ОДЗ ($x < 4$) получаем $x \in (3; 4)$.

Случай 2: $5x+1 < 0$ и $\lg(4-x) > 0$.

$5x+1 < 0 \Rightarrow x < -1/5$.

$\lg(4-x) > 0 \Rightarrow \lg(4-x) > \lg(1) \Rightarrow 4-x > 1 \Rightarrow x < 3$.

Система $\begin{cases} x < -1/5 \\ x < 3 \end{cases}$ дает решение $x < -1/5$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x < 4$), поэтому $x \in (-\infty; -1/5)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/5) \cup (3; 4)$.

4) Решим неравенство $(3-x)\lg(2x-1) > 0$.

ОДЗ: $2x-1 > 0 \Rightarrow x > 1/2$.

Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $3-x > 0$ и $\lg(2x-1) > 0$.

$3-x > 0 \Rightarrow x < 3$.

$\lg(2x-1) > 0 \Rightarrow \lg(2x-1) > \lg(1) \Rightarrow 2x-1 > 1 \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1$.

Система $\begin{cases} x < 3 \\ x > 1 \end{cases}$ дает решение $x \in (1; 3)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 1/2$).

Случай 2: $3-x < 0$ и $\lg(2x-1) < 0$.

$3-x < 0 \Rightarrow x > 3$.

$\lg(2x-1) < 0 \Rightarrow 0 < 2x-1 < 1 \Rightarrow 1 < 2x < 2 \Rightarrow 1/2 < x < 1$.

Система $\begin{cases} x > 3 \\ 1/2 < x < 1 \end{cases}$ не имеет решений, так как интервалы не пересекаются.

Решением является только результат первого случая.

Ответ: $x \in (1; 3)$.