Номер 26.13, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите логарифмические неравенства (26.13–26.15):

26.13. 1) $(\log_2 x - 4)(5x^2 + x - 6) > 0;$2) $(\log_3 x + 3)(x^2 + 2x - 8) > 0;$

3) $\frac{2-x}{(x+4)\log_{0,3}(2x^2+6x+5)} < 0;$4) $\log_7\left(3 - \frac{1}{x-1}\right) + \log_7 \frac{1}{x} > 0.$

1) Решим неравенство $(\log_2 x - 4)(5x^2 + x - 6) > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Далее найдем корни каждого множителя, чтобы определить точки смены знака.

1. $\log_2 x - 4 = 0 \implies \log_2 x = 4 \implies x = 2^4 = 16$.

2. $5x^2 + x - 6 = 0$. Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$.

$x_2 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

Теперь нанесем на числовую ось точки, в которых множители меняют знак, и учтем ОДЗ ($x>0$). Точка $x=-1.2$ не входит в ОДЗ. Таким образом, нас интересуют точки $x=1$ и $x=16$.

Получаем интервалы для проверки: $(0, 1)$, $(1, 16)$, $(16, +\infty)$.

- На интервале $(0, 1)$, возьмем $x=0.5$. Выражение $(\log_2 0.5 - 4)(5 \cdot 0.5^2 + 0.5 - 6) = (-1-4)(1.25-5.5) = (-5)(-4.25) > 0$. Интервал подходит.

- На интервале $(1, 16)$, возьмем $x=2$. Выражение $(\log_2 2 - 4)(5 \cdot 2^2 + 2 - 6) = (1-4)(20-4) = (-3)(16) < 0$. Интервал не подходит.

- На интервале $(16, +\infty)$, возьмем $x=32$. Выражение $(\log_2 32 - 4)(5 \cdot 32^2 + 32 - 6) = (5-4)(\text{положительное число}) > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (16, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(\log_3 x + 3)(x^2 + 2x - 8) > 0$ методом интервалов.

ОДЗ: $x > 0$.

Найдем нули каждого множителя:

1. $\log_3 x + 3 = 0 \implies \log_3 x = -3 \implies x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.

2. $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 2$.

Нанесем на числовую ось точки, входящие в ОДЗ: $\frac{1}{27}$ и $2$.

Получаем интервалы для проверки: $(0, \frac{1}{27})$, $(\frac{1}{27}, 2)$, $(2, +\infty)$.

- На интервале $(0, \frac{1}{27})$, возьмем $x=\frac{1}{81}$. Выражение $(\log_3 \frac{1}{81} + 3)((\frac{1}{81})^2 + 2(\frac{1}{81}) - 8) = (-4+3)(\text{отрицательное число}) > 0$. Интервал подходит.

- На интервале $(\frac{1}{27}, 2)$, возьмем $x=1$. Выражение $(\log_3 1 + 3)(1^2 + 2 - 8) = (3)(-5) < 0$. Интервал не подходит.

- На интервале $(2, +\infty)$, возьмем $x=3$. Выражение $(\log_3 3 + 3)(3^2 + 2 \cdot 3 - 8) = (1+3)(9+6-8) = (4)(7) > 0$. Интервал подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{27}) \cup (2, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{2-x}{(x+4)\log_{0.3}(2x^2+6x+5)} < 0$.

1. Найдем ОДЗ.

- Аргумент логарифма: $2x^2+6x+5 > 0$. Дискриминант $D=6^2-4 \cdot 2 \cdot 5 = 36-40=-4<0$. Так как старший коэффициент положителен ($2>0$), то $2x^2+6x+5$ всегда больше нуля.

- Знаменатель не должен быть равен нулю: $x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$ и $\log_{0.3}(2x^2+6x+5) \neq 0$.

$\log_{0.3}(2x^2+6x+5) \neq 0 \implies 2x^2+6x+5 \neq 1 \implies 2x^2+6x+4 \neq 0 \implies x^2+3x+2 \neq 0$. Корни $x=-1, x=-2$. Таким образом, $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Решим неравенство обобщенным методом интервалов. Определим знаки каждого множителя.

- Нуль числителя: $2-x=0 \implies x=2$.

- Нули знаменателя: $x+4=0 \implies x=-4$; $x^2+3x+2=0 \implies x=-2, x=-1$.

- Знак $\log_{0.3}(2x^2+6x+5)$: основание $0.3<1$, значит логарифм положителен, когда $0 < 2x^2+6x+5 < 1$, что равносильно $x \in (-2, -1)$. Логарифм отрицателен, когда $2x^2+6x+5 > 1$, что равносильно $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)$.

3. Разобьем числовую ось на интервалы точками $-4, -2, -1, 2$ и определим знак дроби.

- Интервал $(-\infty, -4)$: $\frac{(+)}{(-)(-)} = (+)$.

- Интервал $(-4, -2)$: $\frac{(+)}{(+)(-)} = (-)$. Подходит.

- Интервал $(-2, -1)$: $\frac{(+)}{(+)(+)} = (+)$. Не подходит.

- Интервал $(-1, 2)$: $\frac{(+)}{(+)(-)} = (-)$. Подходит.

- Интервал $(2, +\infty)$: $\frac{(-)}{(+)(-)} = (+)$. Не подходит.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (-1, 2)$.

4) Решим неравенство $\log_7(3 - \frac{1}{x-1}) + \log_7 \frac{1}{x} > 0$.

1. Найдем ОДЗ из системы условий:

$\begin{cases} 3 - \frac{1}{x-1} > 0 \\ \frac{1}{x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{3(x-1)-1}{x-1} > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{3x-4}{x-1} > 0 \\ x > 0 \end{cases}$.

Решение первого неравенства $\frac{3x-4}{x-1} > 0$ методом интервалов дает $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty)$.

Пересекая с условием $x > 0$, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty)$.

2. Используя свойство логарифмов, преобразуем неравенство:

$\log_7 \left( \left(3 - \frac{1}{x-1}\right) \cdot \frac{1}{x} \right) > 0$.

Представим $0$ как $\log_7 1$: $\log_7 \left( \frac{3x-4}{x-1} \cdot \frac{1}{x} \right) > \log_7 1$.

Так как основание $7>1$, знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам:

$\frac{3x-4}{x(x-1)} > 1 \implies \frac{3x-4}{x(x-1)} - 1 > 0 \implies \frac{3x-4 - x(x-1)}{x(x-1)} > 0$.

$\frac{3x-4-x^2+x}{x(x-1)} > 0 \implies \frac{-x^2+4x-4}{x(x-1)} > 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $\frac{x^2-4x+4}{x(x-1)} < 0 \implies \frac{(x-2)^2}{x(x-1)} < 0$.

3. Числитель $(x-2)^2 \ge 0$. Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным, а числитель не должен быть равен нулю, т.е. $x \neq 2$.

$x(x-1) < 0$. Это выполняется на интервале $x \in (0, 1)$.

4. Пересечем полученное решение $x \in (0, 1)$ с ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty)$.

Пересечением является интервал $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.