Номер 26.11, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.11. Укажите неравенство, в котором неверно выполнена замена первого выражения вторым:

1) $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(x-1)+\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(x-2)>-2$, откуда следует $\begin{cases} (x-1)(x-2)>0, \\ (x-1)(x-2)<5; \end{cases}$

2) $3^{3x} - 4 \cdot 3^x < 0$, откуда следует $0 < x < \log_3 4$;

3) $\sqrt{\log_5(x-2)} > 2$, откуда следует $x - 2 > 625.$

Для того чтобы определить, в каком из пунктов замена выполнена неверно, проанализируем каждое преобразование. Фраза «откуда следует» означает логическую импликацию (следование). Преобразование будет неверным, если из истинности исходного неравенства не следует истинность второго выражения.

1) Рассмотрим переход от неравенства $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(x-1) + \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(x-2) > -2$ к системе $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0, \\ (x-1)(x-2) < 5; \end{cases}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для исходного логарифмического неравенства. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$\begin{cases} x-1 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

На ОДЗ ($x>2$) мы можем использовать свойство суммы логарифмов:$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}((x-1)(x-2)) > -2$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$(x-1)(x-2) < \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2}$.

Упростим правую часть: $\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} = (\sqrt{5})^2 = 5$.Получаем неравенство $(x-1)(x-2) < 5$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:$\begin{cases} x > 2 \\ (x-1)(x-2) < 5 \end{cases}$.

Теперь проверим, следует ли из этой системы предложенная в задании система. Если $x>2$, то оба множителя $(x-1)$ и $(x-2)$ положительны, следовательно, их произведение $(x-1)(x-2)$ также положительно. Это означает, что условие $x>2$ является более строгим, чем $(x-1)(x-2)>0$. Любое решение исходного неравенства удовлетворяет условиям $x>2$ и $(x-1)(x-2)<5$, из которых, в свою очередь, следуют условия $(x-1)(x-2)>0$ и $(x-1)(x-2)<5$.Следовательно, импликация верна.

Ответ: замена выполнена корректно (в смысле логического следования).

2) Рассмотрим переход $3^{3x} - 4 \cdot 3^x < 0$, откуда следует $0 < x < \log_9 4$.

Решим исходное неравенство. Сделаем замену $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$ при любом $x$, то $y > 0$.Неравенство принимает вид: $y^3 - 4y < 0$.

Разложим на множители: $y(y^2-4) < 0 \implies y(y-2)(y+2) < 0$.Решая это неравенство методом интервалов, получаем $y \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)$.

Учитывая условие $y>0$, получаем $0 < y < 2$.Вернемся к переменной $x$: $0 < 3^x < 2$.Неравенство $3^x > 0$ верно для всех $x$.Решим неравенство $3^x < 2$. Логарифмируя по основанию 3 (основание больше 1, знак не меняется), получаем $x < \log_3 2$.Таким образом, решение исходного неравенства: $x \in (-\infty, \log_3 2)$.

Теперь рассмотрим предложенное следствие: $0 < x < \log_9 4$.Упростим правую границу: $\log_9 4 = \log_{3^2} 2^2 = \frac{2}{2}\log_3 2 = \log_3 2$.Предложенное решение: $0 < x < \log_3 2$.

Сравним истинное решение $x < \log_3 2$ с предложенным $0 < x < \log_3 2$.Утверждение «если $x < \log_3 2$, то $0 < x < \log_3 2$» является ложным. Например, значение $x = -1$ удовлетворяет исходному неравенству (так как $-1 < \log_3 2$ и $3^{-3} - 4 \cdot 3^{-1} = \frac{1}{27} - \frac{4}{3} < 0$), но не удовлетворяет следствию (так как $-1 < 0$).Следовательно, импликация неверна.

Ответ: замена выполнена неверно.

3) Рассмотрим переход $\sqrt{\log_5(x-2)} > 2$, откуда следует $x-2 > 625$.

Найдем ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$\log_5(x-2) \ge 0$.

Так как основание логарифма 5 > 1, то $x-2 \ge 5^0 \implies x-2 \ge 1 \implies x \ge 3$.

Теперь решим само неравенство. Обе его части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:$(\sqrt{\log_5(x-2)})^2 > 2^2$;$\log_5(x-2) > 4$.

Потенцируем по основанию 5:$x-2 > 5^4$;$x-2 > 625$.

Решение $x > 627$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 3$).Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $x-2 > 625$.Преобразование является эквивалентным, следовательно, импликация верна.

Ответ: замена выполнена верно.

Таким образом, единственное неверное преобразование представлено в пункте 2.