Номер 26.15, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.15. 1) $8^{\log_2 x} - 2x^2 > x - 2;$

2) $x^{\frac{1}{\lg x}} \cdot \lg x < 1;$

3) $x^3 > 2^{15 \log_2 \sqrt[3]{2}} \cdot 3^{\frac{1}{\log_x 3}};$

4) $x^{-64 (\log_8 x)^3 - 5 \log_8 x^4} < \left(\frac{1}{5}\right)^{2 + \log_{0.8} 8};$

5) $x \cdot \log_2 x - \frac{4}{\log_x 2} < 0;$

6) $x \cdot \log_5 x < \frac{5 - x}{\log_x 5}.$

1) $8^{\log_{2}x} - 2x^2 > x - 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования логарифма: $x > 0$.

Упростим левую часть неравенства, используя свойства степеней и логарифмов:$8^{\log_{2}x} = (2^3)^{\log_{2}x} = 2^{3\log_{2}x} = 2^{\log_{2}(x^3)} = x^3$.

Подставим это выражение обратно в неравенство:$x^3 - 2x^2 > x - 2$.

Перенесем все члены в левую часть:$x^3 - 2x^2 - x + 2 > 0$.

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:$x^2(x - 2) - 1(x - 2) > 0$

$(x^2 - 1)(x - 2) > 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни многочлена: $x = -1, x = 1, x = 2$.

На числовой оси отметим точки -1, 1, 2. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом интервале:

• При $x > 2$: $(+)(+)(+) = +$. Неравенство выполняется.
• При $1 < x < 2$: $(+)(+)(-) = -$. Неравенство не выполняется.
• При $-1 < x < 1$: $(-)(+)(-) = +$. Неравенство выполняется.
• При $x < -1$: $(-)(-)(-) = -$. Неравенство не выполняется.

Решением неравенства $(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$ является объединение интервалов $(-1, 1) \cup (2, \infty)$.

Теперь учтем ОДЗ ($x > 0$). Найдем пересечение множеств $(-1, 1) \cup (2, \infty)$ и $(0, \infty)$:$x \in (0, 1) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $(0, 1) \cup (2, \infty)$.

2) $x^{\frac{1}{\lg x}} \cdot \lg x < 1$

Область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg x \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Итак, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Упростим первый множитель в левой части, используя основное логарифмическое тождество и свойство перехода к новому основанию:$x^{\frac{1}{\lg x}} = x^{\log_x 10} = 10$.

Подставим полученное значение в исходное неравенство:$10 \cdot \lg x < 1$.

Разделим обе части на 10:$\lg x < \frac{1}{10}$.

Поскольку основание десятичного логарифма (10) больше 1, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:$x < 10^{\frac{1}{10}}$ или $x < \sqrt[10]{10}$.

Найдем пересечение полученного решения $x < \sqrt[10]{10}$ с ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Так как $1 < \sqrt[10]{10}$, решение разбивается на два интервала:$x \in (0, 1) \cup (1, \sqrt[10]{10})$.

Ответ: $(0, 1) \cup (1, \sqrt[10]{10})$.

3) $x^3 > 2^{15\log_{2}\sqrt[5]{8}} \cdot 3^{\frac{1}{\log_{\sqrt[6]{3}}3}}$

Упростим правую часть неравенства.

1. Упростим первый множитель: $2^{15\log_{2}\sqrt[5]{8}}$.Вычислим показатель степени:$15\log_{2}\sqrt[5]{8} = 15\log_{2}(8^{1/5}) = 15\log_{2}((2^3)^{1/5}) = 15\log_{2}(2^{3/5}) = 15 \cdot \frac{3}{5} \cdot \log_2 2 = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9$.

Таким образом, первый множитель равен $2^9$.

2. Упростим второй множитель: $3^{\frac{1}{\log_{\sqrt[6]{3}}3}}$.Вычислим показатель степени, используя формулу $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:$\frac{1}{\log_{\sqrt[6]{3}}3} = \log_3(\sqrt[6]{3}) = \log_3(3^{1/6}) = \frac{1}{6}$.

Таким образом, второй множитель равен $3^{1/6}$.

Теперь неравенство принимает вид:$x^3 > 2^9 \cdot 3^{1/6}$.

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей. Так как функция $y = \sqrt[3]{z}$ является возрастающей, знак неравенства сохраняется:$x > (2^9 \cdot 3^{1/6})^{1/3}$

$x > (2^9)^{1/3} \cdot (3^{1/6})^{1/3}$

$x > 2^{9/3} \cdot 3^{1/18}$

$x > 2^3 \cdot \sqrt[18]{3}$

$x > 8\sqrt[18]{3}$.

Ответ: $(8\sqrt[18]{3}, \infty)$.

4) $x^{-64\log_x^3 5 - 5\log_x x^4} < (\frac{1}{5})^{2+\log_{0.5}8}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0, x \neq 1$.

Сначала упростим правую часть неравенства:$\log_{0.5} 8 = \log_{1/2} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = \frac{3}{-1}\log_2 2 = -3$.

$(\frac{1}{5})^{2+\log_{0.5}8} = (\frac{1}{5})^{2-3} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$.

Теперь упростим показатель степени в левой части:$-64\log_x^3 5 - 5\log_x x^4 = -64(\log_x 5)^3 - 5 \cdot 4 \log_x x = -64(\log_x 5)^3 - 20$.

Неравенство принимает вид:$x^{-64(\log_x 5)^3 - 20} < 5$.

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:$\log_5(x^{-64(\log_x 5)^3 - 20}) < \log_5 5$

$(-64(\log_x 5)^3 - 20) \log_5 x < 1$.

Используем формулу $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$. Сделаем замену $t = \log_5 x$. Из ОДЗ следует, что $t \neq 0$.$(-64(\frac{1}{t})^3 - 20) \cdot t < 1$

$(-\frac{64}{t^3} - 20)t < 1$

$-\frac{64}{t^2} - 20t < 1$

$0 < 20t + \frac{64}{t^2} + 1$.

Так как $t^2 > 0$, умножим обе части на $t^2$:$0 < 20t^3 + t^2 + 64$.

Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ:

Случай 1: $x > 1$. Тогда $\log_5 x > \log_5 1$, то есть $t > 0$.В этом случае все слагаемые в выражении $20t^3 + t^2 + 64$ положительны, значит, их сумма всегда больше нуля. Таким образом, неравенство выполняется для всех $t > 0$, что соответствует $x > 1$.

Случай 2: $0 < x < 1$. Тогда $\log_5 x < \log_5 1$, то есть $t < 0$.Рассмотрим функцию $g(t) = 20t^3 + t^2 + 64$ при $t < 0$. $g'(t) = 60t^2 + 2t = 2t(30t+1)$. При $t < 0$, производная $g'(t)$ положительна на $(-\infty, -1/30)$ и отрицательна на $(-1/30, 0)$. Значит, в точке $t=-1/30$ находится локальный максимум. $g(-1/30) > 0$.При $t \to -\infty$, $g(t) \to -\infty$. Так как $g(-2) = -92 < 0$ и $g(-1) = 45 > 0$, существует единственный корень $t_0 \in (-2, -1)$, такой, что $g(t_0)=0$.Неравенство $g(t) > 0$ при $t < 0$ выполняется на интервале $(t_0, 0)$.

Возвращаемся к переменной $x$: $t_0 < \log_5 x < 0$. Потенцируем: $5^{t_0} < x < 5^0$, то есть $5^{t_0} < x < 1$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $x \in (5^{t_0}, 1) \cup (1, \infty)$, где $t_0$ - единственный действительный корень уравнения $20t^3 + t^2 + 64 = 0$.

Ответ: $(5^{t_0}, 1) \cup (1, \infty)$, где $t_0$ - корень уравнения $20t^3 + t^2 + 64 = 0$.

5) $x \cdot \log_2 x - \frac{4}{\log_x 2} < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$.

Преобразуем выражение, используя формулу замены основания логарифма $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$:$x \cdot \log_2 x - \frac{4}{1/\log_2 x} < 0$

$x \cdot \log_2 x - 4 \log_2 x < 0$.

Вынесем общий множитель $\log_2 x$ за скобки:$(x - 4)\log_2 x < 0$.

Это неравенство выполняется, когда множители $(x-4)$ и $\log_2 x$ имеют разные знаки.

Найдем точки, в которых множители меняют знак:$x - 4 = 0 \implies x = 4$.

$\log_2 x = 0 \implies x = 1$.

Разобьем ОДЗ $(0, 1) \cup (1, \infty)$ на интервалы точками 1 и 4:

1. Интервал $x > 4$: $x-4 > 0$ и $\log_2 x > \log_2 4 = 2 > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) > 0$. Не подходит.

2. Интервал $1 < x < 4$: $x-4 < 0$ и $\log_2 x > \log_2 1 = 0$. Произведение $(-) \cdot (+) < 0$. Подходит.

3. Интервал $0 < x < 1$: $x-4 < 0$ и $\log_2 x < \log_2 1 = 0$. Произведение $(-) \cdot (-) > 0$. Не подходит.

Следовательно, решением является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $(1, 4)$.

6) $x \cdot \log_5 x < \frac{5-x}{\log_x 5}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу замены основания логарифма $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$:$x \cdot \log_5 x < \frac{5-x}{1/\log_5 x}$

$x \log_5 x < (5-x)\log_5 x$.

Перенесем все в левую часть:$x \log_5 x - (5-x)\log_5 x < 0$.

Вынесем общий множитель $\log_5 x$ за скобки:$(x - (5 - x))\log_5 x < 0$

$(x - 5 + x)\log_5 x < 0$

$(2x - 5)\log_5 x < 0$.

Неравенство выполняется, когда множители $(2x-5)$ и $\log_5 x$ имеют разные знаки.

Найдем точки смены знака:$2x - 5 = 0 \implies x = 2.5$.

$\log_5 x = 0 \implies x = 1$.

Разобьем ОДЗ на интервалы точками 1 и 2.5:

1. Интервал $x > 2.5$: $2x-5 > 0$ и $\log_5 x > \log_5 2.5 > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) > 0$. Не подходит.

2. Интервал $1 < x < 2.5$: $2x-5 < 0$ и $\log_5 x > \log_5 1 = 0$. Произведение $(-) \cdot (+) < 0$. Подходит.

3. Интервал $0 < x < 1$: $2x-5 < 0$ и $\log_5 x < \log_5 1 = 0$. Произведение $(-) \cdot (-) > 0$. Не подходит.

Решением является интервал $(1, 2.5)$.

Ответ: $(1; 2,5)$.