Номер 26.14, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.14. 1) $\log_{1-x}(2x+3) > 1;$

2) $\log_{x-1}(x-8) < 1;$

3) $2\log_{2x}\sqrt{x+1} < 0;$

4) $\log_{3x}(2.5x+1) > 0.$

1)

Решим неравенство $\log_{1-x}(2x+3) > 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $2x+3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.

2. Основание логарифма должно быть положительно: $1-x > 0 \implies x < 1$.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $1-x \neq 1 \implies x \neq 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1.5, 0) \cup (0, 1)$.

Представим 1 в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_{1-x}(1-x)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{1-x}(2x+3) > \log_{1-x}(1-x)$.

Решение зависит от значения основания. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1.

$1-x > 1 \implies -x > 0 \implies x < 0$.

В этом случае знак неравенства сохраняется:

$2x+3 > 1-x$

$3x > -2$

$x > -2/3$.

Пересекаем полученное решение с условием для данного случая ($x < 0$) и ОДЗ ($x > -1.5$):

$x \in (-2/3, 0)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < 1-x < 1$.

$1-x > 0 \implies x < 1$.

$1-x < 1 \implies -x < 0 \implies x > 0$.

Итак, $0 < x < 1$.

В этом случае знак неравенства меняется на противоположный:

$2x+3 < 1-x$

$3x < -2$

$x < -2/3$.

Пересекаем полученное решение с условием для данного случая ($0 < x < 1$). Пересечение пусто, так как нет чисел, которые одновременно больше 0 и меньше -2/3. В этом случае решений нет.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-2/3, 0)$.

2)

Решим неравенство $\log_{x-1}(x-8) < 1$.

Найдем ОДЗ:

1. $x-8 > 0 \implies x > 8$.

2. $x-1 > 0 \implies x > 1$.

3. $x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$.

ОДЗ: $x > 8$.

Представим 1 как $\log_{x-1}(x-1)$. Неравенство: $\log_{x-1}(x-8) < \log_{x-1}(x-1)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < x-1 < 1$, что равносильно $1 < x < 2$.

В этом случае знак неравенства меняется:

$x-8 > x-1$

$-8 > -1$.

Это неверное неравенство, значит, в этом случае решений нет. (К тому же, интервал $1 < x < 2$ не пересекается с ОДЗ $x > 8$).

Случай 2: Основание $x-1 > 1$, что равносильно $x > 2$.

Знак неравенства сохраняется:

$x-8 < x-1$

$-8 < -1$.

Это верное неравенство, оно справедливо для всех $x$ из рассматриваемого диапазона.

Решением будет пересечение условия $x > 2$ и ОДЗ $x > 8$.

Пересечением является $x > 8$.

Объединяем решения двух случаев.

Ответ: $x \in (8, \infty)$.

3)

Решим неравенство $2\log_{2x}\sqrt{x+1} < 0$.

Сначала упростим выражение: $2\log_{2x}(x+1)^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{2x}(x+1) = \log_{2x}(x+1)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{2x}(x+1) < 0$.

Представим 0 как $\log_{2x}(1)$. Получаем: $\log_{2x}(x+1) < \log_{2x}(1)$.

Найдем ОДЗ:

1. $x+1 > 0 \implies x > -1$.

2. $2x > 0 \implies x > 0$.

3. $2x \neq 1 \implies x \neq 1/2$.

ОДЗ: $x \in (0, 1/2) \cup (1/2, \infty)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < 2x < 1$, что равносильно $0 < x < 1/2$.

В этом случае знак неравенства меняется:

$x+1 > 1$

$x > 0$.

Пересекаем $x > 0$ с условием случая $0 < x < 1/2$. Получаем $0 < x < 1/2$.

Случай 2: Основание $2x > 1$, что равносильно $x > 1/2$.

Знак неравенства сохраняется:

$x+1 < 1$

$x < 0$.

Пересекаем $x < 0$ с условием случая $x > 1/2$. Пересечение пусто. Решений нет.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (0, 1/2)$.

4)

Решим неравенство $\log_{3x}(2.5x+1) > 0$.

Представим 0 как $\log_{3x}(1)$. Неравенство: $\log_{3x}(2.5x+1) > \log_{3x}(1)$.

Найдем ОДЗ:

1. $2.5x+1 > 0 \implies 2.5x > -1 \implies x > -1/2.5 \implies x > -0.4$.

2. $3x > 0 \implies x > 0$.

3. $3x \neq 1 \implies x \neq 1/3$.

ОДЗ: $x \in (0, 1/3) \cup (1/3, \infty)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < 3x < 1$, что равносильно $0 < x < 1/3$.

Знак неравенства меняется:

$2.5x+1 < 1$

$2.5x < 0$

$x < 0$.

Пересекаем $x < 0$ с условием случая $0 < x < 1/3$. Пересечение пусто. Решений нет.

Случай 2: Основание $3x > 1$, что равносильно $x > 1/3$.

Знак неравенства сохраняется:

$2.5x+1 > 1$

$2.5x > 0$

$x > 0$.

Пересекаем $x > 0$ с условием случая $x > 1/3$. Получаем $x > 1/3$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (1/3, \infty)$.