Номер 26.18, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.18. Используя программы “Живая математика” или “GeoGebra” постройте график функции $f(x)$ и запишите уравнения ее асимптот:

1) $f(x) = x\ln(x + 2e)$;

2) $f(x) = (2x - 3) \cdot \ln(x + 3)$;

3) $f(x) = (2x - 3) \cdot 2^x$;

4) $f(x) = (2x + 1) \cdot 3^x$.

1) $f(x) = x\ln(x + 2e)$

Для нахождения асимптот графика функции проведем исследование. Построение графика в программе GeoGebra или "Живая математика" поможет визуализировать и подтвердить полученные результаты.

Область определения:

Функция определена, когда аргумент натурального логарифма строго положителен:

$x + 2e > 0$

$x > -2e$

Таким образом, область определения функции $D(f) = (-2e; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Вертикальная асимптота может существовать на границе области определения, то есть при $x = -2e$. Найдем односторонний предел функции при $x$, стремящемся к $-2e$ справа:

$\lim_{x \to -2e^+} x \ln(x + 2e)$

Когда $x \to -2e^+$, множитель $x$ стремится к $-2e$, а множитель $\ln(x + 2e)$ стремится к $-\infty$. Следовательно, предел равен:

$(-2e) \cdot (-\infty) = +\infty$

Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x = -2e$ является вертикальной асимптотой графика функции.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты:

Ищем асимптоты вида $y = kx + b$ при $x \to +\infty$.

Сначала найдем коэффициент $k$:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln(x + 2e)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \ln(x + 2e) = +\infty$

Так как предел $k$ не является конечным числом, наклонных и горизонтальных асимптот у графика функции нет.

Ответ: уравнение вертикальной асимптоты $x = -2e$.

2) $f(x) = (2x - 3) \cdot \ln(x + 3)$

Проведем исследование функции для нахождения ее асимптот.

Область определения:

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$x + 3 > 0$

$x > -3$

Область определения $D(f) = (-3; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Исследуем поведение функции на границе области определения $x = -3$.

$\lim_{x \to -3^+} (2x - 3) \ln(x + 3)$

При $x \to -3^+$, множитель $(2x-3)$ стремится к $2(-3)-3 = -9$, а $\ln(x+3)$ стремится к $-\infty$.

$\lim_{x \to -3^+} (2x - 3) \ln(x + 3) = (-9) \cdot (-\infty) = +\infty$

Следовательно, прямая $x = -3$ является вертикальной асимптотой.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты:

Ищем асимптоты вида $y = kx + b$ при $x \to +\infty$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x - 3) \ln(x + 3)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (2 - \frac{3}{x}) \ln(x + 3)$

При $x \to +\infty$, $(2 - \frac{3}{x}) \to 2$, а $\ln(x+3) \to +\infty$.

$k = 2 \cdot (+\infty) = +\infty$

Поскольку коэффициент $k$ не является конечным числом, наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Ответ: уравнение вертикальной асимптоты $x = -3$.

3) $f(x) = (2x - 3) \cdot 2^x$

Найдем асимптоты данной функции.

Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как оба множителя $(2x-3)$ и $2^x$ определены на всей числовой оси. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Так как функция непрерывна на всей своей области определения, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Наклонные и горизонтальные асимптоты:

Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

При $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (2x - 3) \cdot 2^x = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$

Горизонтальной асимптоты нет. Проверим наличие наклонной асимптоты:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x - 3) \cdot 2^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (2 - \frac{3}{x}) \cdot 2^x = 2 \cdot (+\infty) = +\infty$

Наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ также нет.

При $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (2x - 3) \cdot 2^x = [-\infty \cdot 0]$ — это неопределенность.

Для ее раскрытия преобразуем выражение и применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 3}{2^{-x}} = [\frac{-\infty}{+\infty}] = \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x - 3)'}{(2^{-x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-2^{-x} \ln 2} = \frac{2}{-\infty} = 0$

Так как предел конечен и равен нулю, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: уравнение горизонтальной асимптоты $y = 0$.

4) $f(x) = (2x + 1) \cdot 3^x$

Найдем асимптоты данной функции.

Область определения:

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Наклонные и горизонтальные асимптоты:

Исследуем поведение функции на бесконечности.

При $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (2x + 1) \cdot 3^x = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$

Горизонтальной асимптоты нет. Проверим наклонную:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x + 1) \cdot 3^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (2 + \frac{1}{x}) \cdot 3^x = 2 \cdot (+\infty) = +\infty$

Наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.

При $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (2x + 1) \cdot 3^x = [-\infty \cdot 0]$ — неопределенность.

Применим правило Лопиталя после преобразования:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{3^{-x}} = [\frac{-\infty}{+\infty}] = \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x + 1)'}{(3^{-x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-3^{-x} \ln 3} = \frac{2}{-\infty} = 0$

Таким образом, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: уравнение горизонтальной асимптоты $y = 0$.