Номер 5, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5. Решите системы неравенств $ \begin{cases} x^2 + x - 6 > 0, \\ \log_{1/4}^2 x - \log_{1/4} x - 6 < 0 : \end{cases} $

A) $(2; 64);$

B) $[2; 64];$

C) $(-\infty; -3] \cup (64; +\infty);$

D) $(\frac{1}{16}; 2].$

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Исходная система, представленная на изображении:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 > 0 \\ \log_{1/4}^2 x - \log_{1/4} x - 6 < 0 \end{cases} $

Примечание: Решение системы в том виде, как она представлена на изображении, приводит к ответу $(2; 16)$, который отсутствует среди предложенных вариантов. Вероятнее всего, в условии второго неравенства допущена опечатка, и основание логарифма должно быть 4, а не $1/4$. Далее приводится решение для исправленной системы, которое соответствует варианту ответа А.

Исправленная система для решения:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 > 0 \\ \log_4^2 x - \log_4 x - 6 < 0 \end{cases} $

1. Решение первого неравенства: $x^2 + x - 6 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Неравенство можно переписать в виде $(x - 2)(x + 3) > 0$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решением первого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

2. Решение второго неравенства (с исправленным основанием): $\log_4^2 x - \log_4 x - 6 < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма определяется условием $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Тогда неравенство принимает вид:

$t^2 - t - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = -2$ и $t_2 = 3$.

Неравенство можно записать как $(t+2)(t-3) < 0$.

Решением этого квадратного неравенства является интервал $-2 < t < 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив обратно $t = \log_4 x$:

$-2 < \log_4 x < 3$

Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при потенцировании знаки неравенства сохраняются:

$4^{-2} < x < 4^3$

$\frac{1}{16} < x < 64$

Решением второго неравенства является интервал $x \in (\frac{1}{16}; 64)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

3. Нахождение решения системы

Теперь нам нужно найти пересечение множеств решений обоих неравенств:

$x \in ((-\infty; -3) \cup (2; +\infty)) \cap (\frac{1}{16}; 64)$

Пересекая эти два множества, мы видим, что интервал $(-\infty; -3)$ не имеет общих точек с интервалом $(\frac{1}{16}; 64)$.

Пересечение интервалов $(2; +\infty)$ и $(\frac{1}{16}; 64)$ дает нам интервал $(2; 64)$.

Таким образом, решением системы является $x \in (2; 64)$. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: (2; 64)