Номер 7, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Сколько целых чисел содержит решение неравенства $lg(x^2 - 15x) < 2$:

A) 10;B) 12;C) 8;D) 26?

Для решения неравенства $\lg(x^2 - 15x) < 2$ необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство с учетом этой области.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля:

$x^2 - 15x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 15) > 0$

Решением этого квадратного неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (15, +\infty)$.

2. Решение неравенства

Исходное неравенство:

$\lg(x^2 - 15x) < 2$

Представим правую часть в виде десятичного логарифма: $2 = \lg(10^2) = \lg(100)$.

Неравенство принимает вид:

$\lg(x^2 - 15x) < \lg(100)$

Так как основание логарифма $10 > 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 15x < 100$

$x^2 - 15x - 100 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 15x - 100 = 0$. Используем дискриминант:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625 = 25^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{15 - 25}{2} = -5$

$x_2 = \frac{15 + 25}{2} = 20$

Решением неравенства $x^2 - 15x - 100 < 0$ является интервал между корнями: $x \in (-5, 20)$.

3. Нахождение итогового решения

Решение исходного неравенства — это пересечение ОДЗ и решения, полученного на втором шаге:

$x \in ((-\infty, 0) \cup (15, +\infty)) \cap (-5, 20)$

Пересечением этих множеств является объединение интервалов:

$x \in (-5, 0) \cup (15, 20)$

4. Подсчет целых чисел

Найдем целые числа, которые принадлежат полученным интервалам:

Для интервала $(-5, 0)$ это числа: -4, -3, -2, -1 (всего 4 числа).

Для интервала $(15, 20)$ это числа: 16, 17, 18, 19 (всего 4 числа).

Общее количество целых решений: $4 + 4 = 8$.

Ответ: 8.