Страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.14. 1) $\log_{1-x}(2x+3) > 1;$

2) $\log_{x-1}(x-8) < 1;$

3) $2\log_{2x}\sqrt{x+1} < 0;$

4) $\log_{3x}(2.5x+1) > 0.$

1)

Решим неравенство $\log_{1-x}(2x+3) > 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $2x+3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.

2. Основание логарифма должно быть положительно: $1-x > 0 \implies x < 1$.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $1-x \neq 1 \implies x \neq 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1.5, 0) \cup (0, 1)$.

Представим 1 в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_{1-x}(1-x)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{1-x}(2x+3) > \log_{1-x}(1-x)$.

Решение зависит от значения основания. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1.

$1-x > 1 \implies -x > 0 \implies x < 0$.

В этом случае знак неравенства сохраняется:

$2x+3 > 1-x$

$3x > -2$

$x > -2/3$.

Пересекаем полученное решение с условием для данного случая ($x < 0$) и ОДЗ ($x > -1.5$):

$x \in (-2/3, 0)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < 1-x < 1$.

$1-x > 0 \implies x < 1$.

$1-x < 1 \implies -x < 0 \implies x > 0$.

Итак, $0 < x < 1$.

В этом случае знак неравенства меняется на противоположный:

$2x+3 < 1-x$

$3x < -2$

$x < -2/3$.

Пересекаем полученное решение с условием для данного случая ($0 < x < 1$). Пересечение пусто, так как нет чисел, которые одновременно больше 0 и меньше -2/3. В этом случае решений нет.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-2/3, 0)$.

2)

Решим неравенство $\log_{x-1}(x-8) < 1$.

Найдем ОДЗ:

1. $x-8 > 0 \implies x > 8$.

2. $x-1 > 0 \implies x > 1$.

3. $x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$.

ОДЗ: $x > 8$.

Представим 1 как $\log_{x-1}(x-1)$. Неравенство: $\log_{x-1}(x-8) < \log_{x-1}(x-1)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < x-1 < 1$, что равносильно $1 < x < 2$.

В этом случае знак неравенства меняется:

$x-8 > x-1$

$-8 > -1$.

Это неверное неравенство, значит, в этом случае решений нет. (К тому же, интервал $1 < x < 2$ не пересекается с ОДЗ $x > 8$).

Случай 2: Основание $x-1 > 1$, что равносильно $x > 2$.

Знак неравенства сохраняется:

$x-8 < x-1$

$-8 < -1$.

Это верное неравенство, оно справедливо для всех $x$ из рассматриваемого диапазона.

Решением будет пересечение условия $x > 2$ и ОДЗ $x > 8$.

Пересечением является $x > 8$.

Объединяем решения двух случаев.

Ответ: $x \in (8, \infty)$.

3)

Решим неравенство $2\log_{2x}\sqrt{x+1} < 0$.

Сначала упростим выражение: $2\log_{2x}(x+1)^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{2x}(x+1) = \log_{2x}(x+1)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{2x}(x+1) < 0$.

Представим 0 как $\log_{2x}(1)$. Получаем: $\log_{2x}(x+1) < \log_{2x}(1)$.

Найдем ОДЗ:

1. $x+1 > 0 \implies x > -1$.

2. $2x > 0 \implies x > 0$.

3. $2x \neq 1 \implies x \neq 1/2$.

ОДЗ: $x \in (0, 1/2) \cup (1/2, \infty)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < 2x < 1$, что равносильно $0 < x < 1/2$.

В этом случае знак неравенства меняется:

$x+1 > 1$

$x > 0$.

Пересекаем $x > 0$ с условием случая $0 < x < 1/2$. Получаем $0 < x < 1/2$.

Случай 2: Основание $2x > 1$, что равносильно $x > 1/2$.

Знак неравенства сохраняется:

$x+1 < 1$

$x < 0$.

Пересекаем $x < 0$ с условием случая $x > 1/2$. Пересечение пусто. Решений нет.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (0, 1/2)$.

4)

Решим неравенство $\log_{3x}(2.5x+1) > 0$.

Представим 0 как $\log_{3x}(1)$. Неравенство: $\log_{3x}(2.5x+1) > \log_{3x}(1)$.

Найдем ОДЗ:

1. $2.5x+1 > 0 \implies 2.5x > -1 \implies x > -1/2.5 \implies x > -0.4$.

2. $3x > 0 \implies x > 0$.

3. $3x \neq 1 \implies x \neq 1/3$.

ОДЗ: $x \in (0, 1/3) \cup (1/3, \infty)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < 3x < 1$, что равносильно $0 < x < 1/3$.

Знак неравенства меняется:

$2.5x+1 < 1$

$2.5x < 0$

$x < 0$.

Пересекаем $x < 0$ с условием случая $0 < x < 1/3$. Пересечение пусто. Решений нет.

Случай 2: Основание $3x > 1$, что равносильно $x > 1/3$.

Знак неравенства сохраняется:

$2.5x+1 > 1$

$2.5x > 0$

$x > 0$.

Пересекаем $x > 0$ с условием случая $x > 1/3$. Получаем $x > 1/3$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (1/3, \infty)$.

26.15. 1) $8^{\log_2 x} - 2x^2 > x - 2;$

2) $x^{\frac{1}{\lg x}} \cdot \lg x < 1;$

3) $x^3 > 2^{15 \log_2 \sqrt[3]{2}} \cdot 3^{\frac{1}{\log_x 3}};$

4) $x^{-64 (\log_8 x)^3 - 5 \log_8 x^4} < \left(\frac{1}{5}\right)^{2 + \log_{0.8} 8};$

5) $x \cdot \log_2 x - \frac{4}{\log_x 2} < 0;$

6) $x \cdot \log_5 x < \frac{5 - x}{\log_x 5}.$

1) $8^{\log_{2}x} - 2x^2 > x - 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования логарифма: $x > 0$.

Упростим левую часть неравенства, используя свойства степеней и логарифмов:$8^{\log_{2}x} = (2^3)^{\log_{2}x} = 2^{3\log_{2}x} = 2^{\log_{2}(x^3)} = x^3$.

Подставим это выражение обратно в неравенство:$x^3 - 2x^2 > x - 2$.

Перенесем все члены в левую часть:$x^3 - 2x^2 - x + 2 > 0$.

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:$x^2(x - 2) - 1(x - 2) > 0$

$(x^2 - 1)(x - 2) > 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни многочлена: $x = -1, x = 1, x = 2$.

На числовой оси отметим точки -1, 1, 2. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом интервале:

• При $x > 2$: $(+)(+)(+) = +$. Неравенство выполняется.
• При $1 < x < 2$: $(+)(+)(-) = -$. Неравенство не выполняется.
• При $-1 < x < 1$: $(-)(+)(-) = +$. Неравенство выполняется.
• При $x < -1$: $(-)(-)(-) = -$. Неравенство не выполняется.

Решением неравенства $(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$ является объединение интервалов $(-1, 1) \cup (2, \infty)$.

Теперь учтем ОДЗ ($x > 0$). Найдем пересечение множеств $(-1, 1) \cup (2, \infty)$ и $(0, \infty)$:$x \in (0, 1) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $(0, 1) \cup (2, \infty)$.

2) $x^{\frac{1}{\lg x}} \cdot \lg x < 1$

Область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg x \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Итак, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Упростим первый множитель в левой части, используя основное логарифмическое тождество и свойство перехода к новому основанию:$x^{\frac{1}{\lg x}} = x^{\log_x 10} = 10$.

Подставим полученное значение в исходное неравенство:$10 \cdot \lg x < 1$.

Разделим обе части на 10:$\lg x < \frac{1}{10}$.

Поскольку основание десятичного логарифма (10) больше 1, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:$x < 10^{\frac{1}{10}}$ или $x < \sqrt[10]{10}$.

Найдем пересечение полученного решения $x < \sqrt[10]{10}$ с ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Так как $1 < \sqrt[10]{10}$, решение разбивается на два интервала:$x \in (0, 1) \cup (1, \sqrt[10]{10})$.

Ответ: $(0, 1) \cup (1, \sqrt[10]{10})$.

3) $x^3 > 2^{15\log_{2}\sqrt[5]{8}} \cdot 3^{\frac{1}{\log_{\sqrt[6]{3}}3}}$

Упростим правую часть неравенства.

1. Упростим первый множитель: $2^{15\log_{2}\sqrt[5]{8}}$.Вычислим показатель степени:$15\log_{2}\sqrt[5]{8} = 15\log_{2}(8^{1/5}) = 15\log_{2}((2^3)^{1/5}) = 15\log_{2}(2^{3/5}) = 15 \cdot \frac{3}{5} \cdot \log_2 2 = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9$.

Таким образом, первый множитель равен $2^9$.

2. Упростим второй множитель: $3^{\frac{1}{\log_{\sqrt[6]{3}}3}}$.Вычислим показатель степени, используя формулу $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:$\frac{1}{\log_{\sqrt[6]{3}}3} = \log_3(\sqrt[6]{3}) = \log_3(3^{1/6}) = \frac{1}{6}$.

Таким образом, второй множитель равен $3^{1/6}$.

Теперь неравенство принимает вид:$x^3 > 2^9 \cdot 3^{1/6}$.

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей. Так как функция $y = \sqrt[3]{z}$ является возрастающей, знак неравенства сохраняется:$x > (2^9 \cdot 3^{1/6})^{1/3}$

$x > (2^9)^{1/3} \cdot (3^{1/6})^{1/3}$

$x > 2^{9/3} \cdot 3^{1/18}$

$x > 2^3 \cdot \sqrt[18]{3}$

$x > 8\sqrt[18]{3}$.

Ответ: $(8\sqrt[18]{3}, \infty)$.

4) $x^{-64\log_x^3 5 - 5\log_x x^4} < (\frac{1}{5})^{2+\log_{0.5}8}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0, x \neq 1$.

Сначала упростим правую часть неравенства:$\log_{0.5} 8 = \log_{1/2} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = \frac{3}{-1}\log_2 2 = -3$.

$(\frac{1}{5})^{2+\log_{0.5}8} = (\frac{1}{5})^{2-3} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$.

Теперь упростим показатель степени в левой части:$-64\log_x^3 5 - 5\log_x x^4 = -64(\log_x 5)^3 - 5 \cdot 4 \log_x x = -64(\log_x 5)^3 - 20$.

Неравенство принимает вид:$x^{-64(\log_x 5)^3 - 20} < 5$.

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:$\log_5(x^{-64(\log_x 5)^3 - 20}) < \log_5 5$

$(-64(\log_x 5)^3 - 20) \log_5 x < 1$.

Используем формулу $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$. Сделаем замену $t = \log_5 x$. Из ОДЗ следует, что $t \neq 0$.$(-64(\frac{1}{t})^3 - 20) \cdot t < 1$

$(-\frac{64}{t^3} - 20)t < 1$

$-\frac{64}{t^2} - 20t < 1$

$0 < 20t + \frac{64}{t^2} + 1$.

Так как $t^2 > 0$, умножим обе части на $t^2$:$0 < 20t^3 + t^2 + 64$.

Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ:

Случай 1: $x > 1$. Тогда $\log_5 x > \log_5 1$, то есть $t > 0$.В этом случае все слагаемые в выражении $20t^3 + t^2 + 64$ положительны, значит, их сумма всегда больше нуля. Таким образом, неравенство выполняется для всех $t > 0$, что соответствует $x > 1$.

Случай 2: $0 < x < 1$. Тогда $\log_5 x < \log_5 1$, то есть $t < 0$.Рассмотрим функцию $g(t) = 20t^3 + t^2 + 64$ при $t < 0$. $g'(t) = 60t^2 + 2t = 2t(30t+1)$. При $t < 0$, производная $g'(t)$ положительна на $(-\infty, -1/30)$ и отрицательна на $(-1/30, 0)$. Значит, в точке $t=-1/30$ находится локальный максимум. $g(-1/30) > 0$.При $t \to -\infty$, $g(t) \to -\infty$. Так как $g(-2) = -92 < 0$ и $g(-1) = 45 > 0$, существует единственный корень $t_0 \in (-2, -1)$, такой, что $g(t_0)=0$.Неравенство $g(t) > 0$ при $t < 0$ выполняется на интервале $(t_0, 0)$.

Возвращаемся к переменной $x$: $t_0 < \log_5 x < 0$. Потенцируем: $5^{t_0} < x < 5^0$, то есть $5^{t_0} < x < 1$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $x \in (5^{t_0}, 1) \cup (1, \infty)$, где $t_0$ - единственный действительный корень уравнения $20t^3 + t^2 + 64 = 0$.

Ответ: $(5^{t_0}, 1) \cup (1, \infty)$, где $t_0$ - корень уравнения $20t^3 + t^2 + 64 = 0$.

5) $x \cdot \log_2 x - \frac{4}{\log_x 2} < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$.

Преобразуем выражение, используя формулу замены основания логарифма $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$:$x \cdot \log_2 x - \frac{4}{1/\log_2 x} < 0$

$x \cdot \log_2 x - 4 \log_2 x < 0$.

Вынесем общий множитель $\log_2 x$ за скобки:$(x - 4)\log_2 x < 0$.

Это неравенство выполняется, когда множители $(x-4)$ и $\log_2 x$ имеют разные знаки.

Найдем точки, в которых множители меняют знак:$x - 4 = 0 \implies x = 4$.

$\log_2 x = 0 \implies x = 1$.

Разобьем ОДЗ $(0, 1) \cup (1, \infty)$ на интервалы точками 1 и 4:

1. Интервал $x > 4$: $x-4 > 0$ и $\log_2 x > \log_2 4 = 2 > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) > 0$. Не подходит.

2. Интервал $1 < x < 4$: $x-4 < 0$ и $\log_2 x > \log_2 1 = 0$. Произведение $(-) \cdot (+) < 0$. Подходит.

3. Интервал $0 < x < 1$: $x-4 < 0$ и $\log_2 x < \log_2 1 = 0$. Произведение $(-) \cdot (-) > 0$. Не подходит.

Следовательно, решением является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $(1, 4)$.

6) $x \cdot \log_5 x < \frac{5-x}{\log_x 5}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу замены основания логарифма $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$:$x \cdot \log_5 x < \frac{5-x}{1/\log_5 x}$

$x \log_5 x < (5-x)\log_5 x$.

Перенесем все в левую часть:$x \log_5 x - (5-x)\log_5 x < 0$.

Вынесем общий множитель $\log_5 x$ за скобки:$(x - (5 - x))\log_5 x < 0$

$(x - 5 + x)\log_5 x < 0$

$(2x - 5)\log_5 x < 0$.

Неравенство выполняется, когда множители $(2x-5)$ и $\log_5 x$ имеют разные знаки.

Найдем точки смены знака:$2x - 5 = 0 \implies x = 2.5$.

$\log_5 x = 0 \implies x = 1$.

Разобьем ОДЗ на интервалы точками 1 и 2.5:

1. Интервал $x > 2.5$: $2x-5 > 0$ и $\log_5 x > \log_5 2.5 > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) > 0$. Не подходит.

2. Интервал $1 < x < 2.5$: $2x-5 < 0$ и $\log_5 x > \log_5 1 = 0$. Произведение $(-) \cdot (+) < 0$. Подходит.

3. Интервал $0 < x < 1$: $2x-5 < 0$ и $\log_5 x < \log_5 1 = 0$. Произведение $(-) \cdot (-) > 0$. Не подходит.

Решением является интервал $(1, 2.5)$.

Ответ: $(1; 2,5)$.

Найдите области определений функции y = f(x) (26.16—26.17):

26.16. 1) $f(x) = \text{lg}(4 - x^2) + \sqrt{\frac{1 + \text{lg}^2 x}{\text{lg}^2 x}} - 1$;

2) $f(x) = \sqrt{\left|\log_{\frac{1}{3}} \log_3 (x - 3)\right| + \sqrt{x^2 - 25}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \lg(4 - x^2) + \sqrt{\frac{1 + \lg^2 x}{\lg^2 x} - 1}$ задается системой условий, обеспечивающих существование всех ее частей (логарифмов и квадратного корня):

$\begin{cases} 4 - x^2 > 0 & \text{(аргумент логарифма должен быть положителен)} \\x > 0 & \text{(аргумент вложенного логарифма должен быть положителен)} \\\lg^2 x \neq 0 & \text{(знаменатель не должен быть равен нулю)} \\\frac{1 + \lg^2 x}{\lg^2 x} - 1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение должно быть неотрицательно)}\end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Из неравенства $4 - x^2 > 0$ следует $x^2 < 4$, что равносильно $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$.

2. Условие существования $\lg x$ — это $x > 0$.

3. Условие $\lg^2 x \neq 0$ означает, что $\lg x \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

4. Решим неравенство для подкоренного выражения: $\frac{1 + \lg^2 x}{\lg^2 x} - 1 \ge 0$. Приводя к общему знаменателю, получаем: $\frac{1 + \lg^2 x - \lg^2 x}{\lg^2 x} \ge 0$, что упрощается до $\frac{1}{\lg^2 x} \ge 0$. Это неравенство верно всегда, когда выражение определено, то есть когда $\lg^2 x \neq 0$. Это условие уже учтено в пункте 3.

Теперь необходимо найти пересечение всех полученных условий:

$\begin{cases} -2 < x < 2 \\x > 0 \\x \neq 1\end{cases}$

Пересечением интервалов $(-2, 2)$ и $(0, +\infty)$ является интервал $(0, 2)$. Исключив из него точку $x=1$, мы получаем итоговую область определения функции.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}\log_3(x-3)} + \sqrt{x^2 - 25}$ определяется системой неравенств, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}\log_3(x-3) \ge 0 \\x^2 - 25 \ge 0\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{3}}\log_3(x-3) \ge 0$.

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1, логарифмическая функция является убывающей. Неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(A) \ge 0$ (где $0 = \log_{\frac{1}{3}}(1)$) равносильно двойному неравенству $0 < A \le 1$. В нашем случае $A = \log_3(x-3)$, поэтому:

$0 < \log_3(x-3) \le 1$.

Решим это двойное неравенство:

а) $\log_3(x-3) > 0$. Так как $0 = \log_3(1)$, получаем $\log_3(x-3) > \log_3(1)$. Поскольку основание $3 > 1$, функция возрастающая, следовательно, $x-3 > 1$, откуда $x > 4$.

б) $\log_3(x-3) \le 1$. Так как $1 = \log_3(3)$, получаем $\log_3(x-3) \le \log_3(3)$. Следовательно, $x-3 \le 3$, откуда $x \le 6$.

Объединяя результаты для первого подкоренного выражения, получаем $4 < x \le 6$.

Теперь рассмотрим второе неравенство: $x^2 - 25 \ge 0$.

Оно равносильно $x^2 \ge 25$, что дает $|x| \ge 5$, то есть $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

Для нахождения области определения исходной функции найдем пересечение полученных множеств:

$\begin{cases} 4 < x \le 6 \\x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)\end{cases}$

Пересекая интервал $(4, 6]$ с множеством $(-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$, получаем итоговый промежуток.

Ответ: $x \in [5, 6]$.

26.17. 1) $f(x) = \frac{15+x^2}{\sqrt{\log_{\frac{1}{4}}(5x-x^2)-1}};$

2) $f(x) = \frac{\sqrt{17+15x-2x^2}}{\log_x(x+3)}.$

1) Область определения функции $f(x) = \frac{15 + x^2}{\sqrt{\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1}}$ задается условием, при котором выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, строго больше нуля. Числитель $15+x^2$ определен и положителен при любом $x$.

Итак, решаем неравенство:

$\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1 > 0$

$\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) > 1$

Представим 1 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{4}$: $1 = \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$.

$\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) > \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - x^2 > 0 \\ 5x - x^2 < \frac{1}{4} \end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x - x^2 > 0 \implies x(5-x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=5$. Ветви параболы $y=-x^2+5x$ направлены вниз, значит, решение неравенства: $x \in (0; 5)$.

Решим второе неравенство: $5x - x^2 < \frac{1}{4} \implies 0 < x^2 - 5x + \frac{1}{4}$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + \frac{1}{4} = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = 25 - 1 = 24$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{5 \pm 2\sqrt{6}}{2}$.

Ветви параболы $y=x^2 - 5x + \frac{1}{4}$ направлены вверх, значит, решение неравенства $x^2 - 5x + \frac{1}{4} > 0$ есть объединение интервалов: $x \in (-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(0; 5) \cap ((-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}; +\infty))$.

Заметим, что $4 < 24 < 25$, значит $2 < \sqrt{24} < 5$. Точнее, $\sqrt{24} \approx 4.9$.

$\frac{5 - 2\sqrt{6}}{2} \approx \frac{5 - 4.9}{2} = 0.05$, что принадлежит интервалу $(0; 5)$.

$\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2} \approx \frac{5 + 4.9}{2} = 4.95$, что также принадлежит интервалу $(0; 5)$.

Следовательно, итоговое решение — это объединение интервалов, которые являются пересечением указанных множеств.

Ответ: $x \in (0; \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}; 5)$

2) Для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{17 + 15x - 2x^2}}{\log_x(x + 3)}$ необходимо, чтобы выполнялась система условий:

1. Выражение под корнем неотрицательно: $17 + 15x - 2x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $\log_x(x + 3) \neq 0$.

3. Аргумент логарифма положителен: $x + 3 > 0$.

4. Основание логарифма положительно и не равно единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности:

1) $17 + 15x - 2x^2 \ge 0 \implies 2x^2 - 15x - 17 \le 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 15x - 17 = 0$.

Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 225 + 136 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_1 = \frac{15 - 19}{4} = -1$, $x_2 = \frac{15 + 19}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-1; 8.5]$.

2) $\log_x(x + 3) \neq 0 \implies x+3 \neq x^0 \implies x+3 \neq 1 \implies x \neq -2$.

3) $x + 3 > 0 \implies x > -3$.

4) $x > 0$ и $x \neq 1$.

Теперь найдем пересечение всех полученных множеств:

$x \in [-1; 8.5] \cap (-3; +\infty) \cap (0; +\infty) \setminus \{1, -2\}$.

Пересечение $[-1; 8.5]$ и $(-3; +\infty)$ дает $[-1; 8.5]$.

Пересечение $[-1; 8.5]$ и $(0; +\infty)$ дает $(0; 8.5]$.

Из полученного интервала $(0; 8.5]$ нужно исключить точки $x=1$ и $x=-2$. Точка $x=-2$ не входит в интервал. Исключаем $x=1$.

В итоге получаем объединение интервалов $(0; 1) \cup (1; 8.5]$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1; 8.5]$

26.18. Используя программы “Живая математика” или “GeoGebra” постройте график функции $f(x)$ и запишите уравнения ее асимптот:

1) $f(x) = x\ln(x + 2e)$;

2) $f(x) = (2x - 3) \cdot \ln(x + 3)$;

3) $f(x) = (2x - 3) \cdot 2^x$;

4) $f(x) = (2x + 1) \cdot 3^x$.

1) $f(x) = x\ln(x + 2e)$

Для нахождения асимптот графика функции проведем исследование. Построение графика в программе GeoGebra или "Живая математика" поможет визуализировать и подтвердить полученные результаты.

Область определения:

Функция определена, когда аргумент натурального логарифма строго положителен:

$x + 2e > 0$

$x > -2e$

Таким образом, область определения функции $D(f) = (-2e; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Вертикальная асимптота может существовать на границе области определения, то есть при $x = -2e$. Найдем односторонний предел функции при $x$, стремящемся к $-2e$ справа:

$\lim_{x \to -2e^+} x \ln(x + 2e)$

Когда $x \to -2e^+$, множитель $x$ стремится к $-2e$, а множитель $\ln(x + 2e)$ стремится к $-\infty$. Следовательно, предел равен:

$(-2e) \cdot (-\infty) = +\infty$

Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x = -2e$ является вертикальной асимптотой графика функции.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты:

Ищем асимптоты вида $y = kx + b$ при $x \to +\infty$.

Сначала найдем коэффициент $k$:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln(x + 2e)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \ln(x + 2e) = +\infty$

Так как предел $k$ не является конечным числом, наклонных и горизонтальных асимптот у графика функции нет.

Ответ: уравнение вертикальной асимптоты $x = -2e$.

2) $f(x) = (2x - 3) \cdot \ln(x + 3)$

Проведем исследование функции для нахождения ее асимптот.

Область определения:

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$x + 3 > 0$

$x > -3$

Область определения $D(f) = (-3; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Исследуем поведение функции на границе области определения $x = -3$.

$\lim_{x \to -3^+} (2x - 3) \ln(x + 3)$

При $x \to -3^+$, множитель $(2x-3)$ стремится к $2(-3)-3 = -9$, а $\ln(x+3)$ стремится к $-\infty$.

$\lim_{x \to -3^+} (2x - 3) \ln(x + 3) = (-9) \cdot (-\infty) = +\infty$

Следовательно, прямая $x = -3$ является вертикальной асимптотой.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты:

Ищем асимптоты вида $y = kx + b$ при $x \to +\infty$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x - 3) \ln(x + 3)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (2 - \frac{3}{x}) \ln(x + 3)$

При $x \to +\infty$, $(2 - \frac{3}{x}) \to 2$, а $\ln(x+3) \to +\infty$.

$k = 2 \cdot (+\infty) = +\infty$

Поскольку коэффициент $k$ не является конечным числом, наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Ответ: уравнение вертикальной асимптоты $x = -3$.

3) $f(x) = (2x - 3) \cdot 2^x$

Найдем асимптоты данной функции.

Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как оба множителя $(2x-3)$ и $2^x$ определены на всей числовой оси. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Так как функция непрерывна на всей своей области определения, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Наклонные и горизонтальные асимптоты:

Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

При $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (2x - 3) \cdot 2^x = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$

Горизонтальной асимптоты нет. Проверим наличие наклонной асимптоты:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x - 3) \cdot 2^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (2 - \frac{3}{x}) \cdot 2^x = 2 \cdot (+\infty) = +\infty$

Наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ также нет.

При $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (2x - 3) \cdot 2^x = [-\infty \cdot 0]$ — это неопределенность.

Для ее раскрытия преобразуем выражение и применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 3}{2^{-x}} = [\frac{-\infty}{+\infty}] = \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x - 3)'}{(2^{-x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-2^{-x} \ln 2} = \frac{2}{-\infty} = 0$

Так как предел конечен и равен нулю, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: уравнение горизонтальной асимптоты $y = 0$.

4) $f(x) = (2x + 1) \cdot 3^x$

Найдем асимптоты данной функции.

Область определения:

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Наклонные и горизонтальные асимптоты:

Исследуем поведение функции на бесконечности.

При $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (2x + 1) \cdot 3^x = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$

Горизонтальной асимптоты нет. Проверим наклонную:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x + 1) \cdot 3^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (2 + \frac{1}{x}) \cdot 3^x = 2 \cdot (+\infty) = +\infty$

Наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.

При $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (2x + 1) \cdot 3^x = [-\infty \cdot 0]$ — неопределенность.

Применим правило Лопиталя после преобразования:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{3^{-x}} = [\frac{-\infty}{+\infty}] = \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x + 1)'}{(3^{-x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-3^{-x} \ln 3} = \frac{2}{-\infty} = 0$

Таким образом, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: уравнение горизонтальной асимптоты $y = 0$.

26.19. Решите уравнение на множестве комплексных чисел:

1) $x^4 + 4x^2 - 12 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 - 14 = 0.$

1) $z^4 + 4z^2 - 12 = 0$.

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной $t = z^2$. Уравнение примет вид квадратного:

$t^2 + 4t - 12 = 0$.

Решим его относительно $t$ с помощью теоремы Виета. Сумма корней $t_1+t_2 = -4$, а их произведение $t_1 t_2 = -12$. Методом подбора находим корни: $t_1=2$ и $t_2=-6$.

Теперь выполним обратную замену для нахождения $z$:

1. Если $z^2 = 2$, то $z_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.

2. Если $z^2 = -6$, то $z_{3,4} = \pm\sqrt{-6} = \pm i\sqrt{6}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, i\sqrt{6}, -i\sqrt{6}$.

2) $z^4 - 5z^2 - 14 = 0$.

Это также биквадратное уравнение. Произведем замену $t = z^2$, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 14 = 0$.

Решим его относительно $t$ с помощью теоремы Виета. Сумма корней $t_1+t_2 = 5$, а их произведение $t_1 t_2 = -14$. Методом подбора находим корни: $t_1=7$ и $t_2=-2$.

Теперь выполним обратную замену для $z$:

1. Если $z^2 = 7$, то $z_{1,2} = \pm\sqrt{7}$.

2. Если $z^2 = -2$, то $z_{3,4} = \pm\sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\sqrt{7}, -\sqrt{7}, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$.

26.20. Найдите вторую производную функции:

1) $f(x) = x^2 \cdot e^{2x}$;

2) $f(x) = (x^2 - x) \cdot e^{-x}$;

3) $f(x) = x \cdot \ln x$;

4) $f(x) = x^2 \cdot \ln x$.

1) Чтобы найти вторую производную функции $f(x) = x^2 \cdot e^{2x}$, необходимо последовательно найти первую и вторую производные.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{2x}$. Тогда их производные: $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{2x} + x^2 \cdot (e^{2x})' = 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x}$.

Вынесем общий множитель $2e^{2x}$:

$f'(x) = 2e^{2x}(x + x^2)$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$. Снова применим правило произведения для функций $u_1(x) = x + x^2$ и $v_1(x) = 2e^{2x}$.

$u_1'(x) = 1 + 2x$ и $v_1'(x) = 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x}$.

$f''(x) = (u_1(x) \cdot v_1(x))' = u_1'(x)v_1(x) + u_1(x)v_1'(x) = (1 + 2x) \cdot 2e^{2x} + (x + x^2) \cdot 4e^{2x}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f''(x) = (2 + 4x)e^{2x} + (4x + 4x^2)e^{2x} = (2 + 4x + 4x + 4x^2)e^{2x} = (4x^2 + 8x + 2)e^{2x}$.

Можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$f''(x) = 2(2x^2 + 4x + 1)e^{2x}$.

Ответ: $2(2x^2 + 4x + 1)e^{2x}$.

2) Найдем вторую производную функции $f(x) = (x^2 - x) \cdot e^{-x}$.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$ по правилу произведения.

Пусть $u(x) = x^2 - x$ и $v(x) = e^{-x}$. Тогда $u'(x) = 2x - 1$ и $v'(x) = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$.

$f'(x) = (2x - 1)e^{-x} + (x^2 - x)(-e^{-x}) = (2x - 1 - (x^2 - x))e^{-x} = (2x - 1 - x^2 + x)e^{-x} = (-x^2 + 3x - 1)e^{-x}$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

Пусть $u_1(x) = -x^2 + 3x - 1$ и $v_1(x) = e^{-x}$. Тогда $u_1'(x) = -2x + 3$ и $v_1'(x) = -e^{-x}$.

$f''(x) = (-2x + 3)e^{-x} + (-x^2 + 3x - 1)(-e^{-x}) = (-2x + 3 - (-x^2 + 3x - 1))e^{-x}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f''(x) = (-2x + 3 + x^2 - 3x + 1)e^{-x} = (x^2 - 5x + 4)e^{-x}$.

Ответ: $(x^2 - 5x + 4)e^{-x}$.

3) Найдем вторую производную функции $f(x) = x \cdot \ln{x}$. Функция определена при $x > 0$.

Найдем первую производную $f'(x)$ по правилу произведения.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \ln{x}$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = \frac{1}{x}$.

$f'(x) = 1 \cdot \ln{x} + x \cdot \frac{1}{x} = \ln{x} + 1$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

$f''(x) = (\ln{x} + 1)' = (\ln{x})' + (1)' = \frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x}$.

Ответ: $\frac{1}{x}$.

4) Найдем вторую производную функции $f(x) = x^2 \cdot \ln{x}$. Функция определена при $x > 0$.

Найдем первую производную $f'(x)$ по правилу произведения.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln{x}$. Тогда $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = \frac{1}{x}$.

$f'(x) = 2x \cdot \ln{x} + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln{x} + x$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

$f''(x) = (2x\ln{x} + x)' = (2x\ln{x})' + (x)'$.

Для нахождения производной от $2x\ln{x}$ снова применим правило произведения:

$(2x)'\ln{x} + 2x(\ln{x})' = 2 \cdot \ln{x} + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2\ln{x} + 2$.

Производная от $x$ равна 1.

Складываем полученные результаты:

$f''(x) = (2\ln{x} + 2) + 1 = 2\ln{x} + 3$.

Ответ: $2\ln{x} + 3$.

1. Решите уравнение $11^{x-1} - 11^{x+2} + 1330 = 0$;

A) 4;

B) -1;

C) 3;

D) 1.

Данное уравнение является показательным. Для его решения воспользуемся свойствами степеней: $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Исходное уравнение: $11^{x-1} - 11^{x+2} + 1330 = 0$.

Преобразуем члены уравнения, содержащие переменную $x$:

$11^{x-1} = \frac{11^x}{11^1} = \frac{11^x}{11}$

$11^{x+2} = 11^x \cdot 11^2 = 121 \cdot 11^x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{11^x}{11} - 121 \cdot 11^x + 1330 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 11^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ при $a > 0, a \neq 1$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

После замены уравнение примет вид линейного уравнения относительно $t$:

$\frac{t}{11} - 121t + 1330 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 11:

$11 \cdot \left(\frac{t}{11} - 121t + 1330\right) = 11 \cdot 0$

$t - 1331t + 14630 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-1330t + 14630 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$-1330t = -14630$

Найдем $t$:

$t = \frac{-14630}{-1330} = \frac{1463}{133} = 11$

Значение $t=11$ удовлетворяет условию $t>0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$11^x = t$

$11^x = 11$

Так как $11$ можно представить как $11^1$, получаем:

$11^x = 11^1$

Приравнивая показатели степеней, находим $x$:

$x = 1$

Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$11^{1-1} - 11^{1+2} + 1330 = 11^0 - 11^3 + 1330 = 1 - 1331 + 1330 = 1331 - 1331 = 0$.

$0 = 0$. Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 1.

2. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

$0,25^{2+0,5x^2} > 32^x$

A) -1;

B) -2;

C) 3;

D) 4.

Для решения показательного неравенства $0,25^{2+0,5x^2} > 32^x$ необходимо привести обе его части к одному основанию. Наиболее удобным общим основанием является число 2.

Представим десятичную дробь 0,25 и число 32 в виде степеней двойки. Число $0,25$ равно дроби $\frac{1}{4}$, что можно записать как $\frac{1}{2^2}$ или, используя отрицательный показатель, $2^{-2}$. Число $32$ является пятой степенью двойки: $32 = 2^5$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство: $(2^{-2})^{2+0,5x^2} > (2^5)^x$.

Далее, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим обе части неравенства: $2^{-2(2+0,5x^2)} > 2^{5x}$ $2^{-4 - x^2} > 2^{5x}$.

Поскольку основание степени $2$ больше единицы ($2 > 1$), то при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется. Таким образом, получаем: $-4 - x^2 > 5x$.

Это квадратное неравенство. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2+bx+c < 0$: $x^2 + 5x + 4 < 0$.

Чтобы решить полученное неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 4. Отсюда легко находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны ($y < 0$) на интервале между корнями. Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (-4; -1)$.

В задании требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целыми числами, которые принадлежат интервалу $(-4; -1)$, являются -3 и -2. Наибольшим из этих чисел является -2.

Ответ: -2.