Страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Чем отличается дифференциальное уравнение от алгебраического?

2. В каких случаях можно найти частное решение дифференциального уравнения?

3. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными?

4. Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

1. Чем отличается дифференциальное уравнение от алгебраического?

Основное отличие между дифференциальным и алгебраическим уравнением заключается в природе искомого решения.

В алгебраическом уравнении (например, $ax^2+bx+c=0$) неизвестной является переменная, а решением — число или набор чисел, которые удовлетворяют равенству.

В дифференциальном уравнении (например, $y' + p(x)y = q(x)$) неизвестной является функция, а решением — функция или семейство функций, которые при подстановке в уравнение вместе со своими производными обращают его в тождество. Таким образом, ключевой признак дифференциального уравнения — это наличие в нём производных от искомой функции.

Ответ: Алгебраическое уравнение ищет числовое решение, а дифференциальное — функциональное, и, в отличие от алгебраического, оно обязательно содержит производные искомой функции.

2. В каких случаях можно найти частное решение дифференциального уравнения?

Общее решение дифференциального уравнения содержит произвольные постоянные (константы), число которых соответствует порядку уравнения. Например, общее решение уравнения первого порядка $y' = y$ имеет вид $y = C e^x$, где $C$ — произвольная постоянная. Чтобы найти частное решение, необходимо определить конкретное значение этой постоянной.

Это возможно, если заданы дополнительные условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такими условиями чаще всего являются начальные условия (задача Коши). Начальное условие задает значение искомой функции в определённой точке. Например, для уравнения $y' = y$ с начальным условием $y(0) = 2$ можно найти частное решение: подставляя $x=0$ и $y=2$ в общее решение, получаем $2 = C e^0 \Rightarrow C = 2$. Таким образом, частное решение — $y = 2e^x$. Для уравнения n-го порядка требуется n начальных условий.

Ответ: Частное решение дифференциального уравнения можно найти, если заданы начальные (или краевые) условия, которые позволяют однозначно определить значения произвольных постоянных в общем решении.

3. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными?

Дифференциальным уравнением с разделенными переменными называется такое уравнение первого порядка, в котором члены, содержащие одну переменную (например, $x$) и её дифференциал, уже отделены от членов, содержащих другую переменную (например, $y$) и её дифференциал. Такое уравнение можно сразу интегрировать.

Общий вид такого уравнения:

$M(x)dx + N(y)dy = 0$

или

$M(x)dx = N(y)dy$

Здесь функция $M(x)$ зависит только от $x$, а функция $N(y)$ — только от $y$. Пример: $x^2 dx + \sin(y) dy = 0$.

Ответ: Уравнение с разделенными переменными — это уравнение вида $M(x)dx + N(y)dy = 0$, в котором слагаемые уже разделены по переменным.

4. Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка, которое можно с помощью алгебраических преобразований привести к уравнению с разделенными переменными.

Характерный вид такого уравнения:

$y' = f(x) \cdot g(y)$

или в дифференциальной форме:

$M_1(x)N_1(y)dx + M_2(x)N_2(y)dy = 0$

Для решения уравнения $y' = f(x)g(y)$ нужно представить $y'$ как $\frac{dy}{dx}$ и выполнить "разделение переменных":

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \Rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$ (при условии, что $g(y) \neq 0$).

После этого преобразования получается уравнение с разделенными переменными, которое можно проинтегрировать.

Ответ: Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными — это уравнение вида $y' = f(x) \cdot g(y)$, которое можно свести к уравнению с разделенными переменными путем алгебраических манипуляций.

27.1. Заполните таблицу:

Таблица 34

Дифференциальное уравнение

Порядок дифференциального уравнения

$y''' - 3xy' = x - y$

$xy'' + xy' = 2x - y$

$4y^{(IV)} - 3xy'' = x^3 - y$

$y - x^2y' = 2x - 1$

Для определения порядка дифференциального уравнения необходимо найти наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в это уравнение.

$y''' - 3xyy' = x - y$

В этом уравнении присутствуют первая производная $y'$ и третья производная $y'''$. Наивысший порядок производной — 3.

Ответ: 3

$xy'' + xy' = 2x - y$

В данном уравнении наивысший порядок производной — это вторая производная $y''$. Также присутствует первая производная $y'$, но порядок уравнения определяется именно наивысшей.

Ответ: 2

$4y^{(IV)} - 3xy'' = x^3 - y$

В уравнении есть вторая производная $y''$ и четвертая производная $y^{(IV)}$. Наивысший порядок производной равен 4.

Ответ: 4

$y - x^2y' = 2x - 1$

В этом уравнении единственная производная — это первая производная $y'$. Следовательно, порядок уравнения равен 1.

Ответ: 1