Страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.8. В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа (без применения экстренных мер) описывается следующим

уравнением $\frac{dy}{dt} = 0,001y(3000 - y)$, где $y$ — число заболевших в

момент времени $t$, $t$ — число недель. Найдите число больных в

поселке через две недели, если в начальный момент было трое больных ($e \approx 2,72$)?

Данная задача описывается логистическим дифференциальным уравнением, которое является уравнением с разделяющимися переменными:

$\frac{dy}{dt} = 0.001y(3000 - y)$

где $y$ — число заболевших, а $t$ — время в неделях. Для нахождения зависимости числа заболевших от времени $y(t)$ необходимо решить это уравнение.

Сначала разделим переменные, перенеся все члены с $y$ в левую часть, а с $t$ — в правую:

$\frac{dy}{y(3000 - y)} = 0.001 dt$

Далее проинтегрируем обе части уравнения. Интеграл в левой части находится с помощью разложения подынтегральной функции на простейшие дроби:

$\frac{1}{y(3000 - y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{3000 - y}$

Приводя к общему знаменателю, получаем тождество: $1 = A(3000 - y) + By$.

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, подставим удобные значения $y$.

При $y = 0$: $1 = A(3000 - 0)$, откуда $A = \frac{1}{3000}$.

При $y = 3000$: $1 = B \cdot 3000$, откуда $B = \frac{1}{3000}$.

Таким образом, выражение для интегрирования принимает вид:

$\int \frac{1}{3000}\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{3000 - y}\right)dy = \int 0.001 dt$

Выполним интегрирование:

$\frac{1}{3000}\left(\ln|y| - \ln|3000 - y|\right) = 0.001t + C_1$

Умножим обе части на 3000 и объединим константы ($C = 3000C_1$):

$\ln\left|\frac{y}{3000 - y}\right| = 3t + C$

Поскольку $y$ представляет собой число больных в поселке с населением 3000, то $0 < y < 3000$, поэтому знаки модуля можно опустить.

$\ln\left(\frac{y}{3000 - y}\right) = 3t + C$

Теперь используем начальное условие: в момент $t=0$ число больных составляло $y=3$. Подставим эти значения, чтобы найти константу $C$:

$\ln\left(\frac{3}{3000 - 3}\right) = 3 \cdot 0 + C \implies C = \ln\left(\frac{3}{2997}\right) = \ln\left(\frac{1}{999}\right)$

Подставим найденное значение $C$ в общее решение:

$\ln\left(\frac{y}{3000 - y}\right) = 3t + \ln\left(\frac{1}{999}\right)$

Выразим $y$ из этого уравнения. Для этого преобразуем его:

$\ln\left(\frac{y}{3000 - y}\right) - \ln\left(\frac{1}{999}\right) = 3t \implies \ln\left(\frac{999y}{3000 - y}\right) = 3t$

Потенцируя обе части, получаем:

$\frac{999y}{3000 - y} = e^{3t}$

$999y = (3000 - y)e^{3t} \implies 999y + ye^{3t} = 3000e^{3t} \implies y(999 + e^{3t}) = 3000e^{3t}$

Отсюда получаем явную зависимость $y$ от $t$:

$y(t) = \frac{3000e^{3t}}{999 + e^{3t}}$

Для удобства вычислений разделим числитель и знаменатель на $e^{3t}$:

$y(t) = \frac{3000}{1 + 999e^{-3t}}$

По условию задачи, требуется найти число больных через две недели, то есть при $t=2$:

$y(2) = \frac{3000}{1 + 999e^{-3 \cdot 2}} = \frac{3000}{1 + 999e^{-6}}$

Используем данное в условии приближение $e \approx 2.72$. Вычислим $e^6$:

$e^6 \approx (2.72)^6 \approx 405.15$.

Для упрощения дальнейших расчетов примем $e^6 \approx 405$. Это значение позволяет значительно упростить дробь:

$y(2) \approx \frac{3000}{1 + \frac{999}{405}} = \frac{3000}{1 + \frac{111 \cdot 9}{45 \cdot 9}} = \frac{3000}{1 + \frac{111}{45}} = \frac{3000}{1 + \frac{37 \cdot 3}{15 \cdot 3}} = \frac{3000}{1 + \frac{37}{15}}$

$y(2) \approx \frac{3000}{\frac{15 + 37}{15}} = \frac{3000}{\frac{52}{15}} = \frac{3000 \cdot 15}{52} = \frac{45000}{52} = \frac{11250}{13}$

$y(2) \approx 865.38$

Так как число больных людей — это целое число, округляем полученный результат до ближайшего целого.Ответ: 865.

27.9. В комнате при температуре в 20° С некоторое тело остывает за 20 мин от 100° С до 60° С. Найдите закон охлаждения тела. Через сколько минут тело остынет до 30° С? (Температура в комнате не изменяется. По закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур)?

Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это можно выразить с помощью дифференциального уравнения:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$

где:

• $T(t)$ – температура тела в момент времени $t$,
• $T_a$ – температура окружающей среды (комнаты),
• $k$ – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств тела и условий теплообмена.

По условию задачи, температура в комнате $T_a = 20^\circ$ C. Уравнение принимает вид:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - 20)$

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

$\frac{dT}{T - 20} = -k \, dt$

Интегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dT}{T - 20} = \int -k \, dt$

$\ln(T - 20) = -kt + C_1$

где $C_1$ – константа интегрирования. Выразим $T$:

$T - 20 = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-kt}$

Обозначим $C = e^{C_1}$ (новая константа) и получим общее решение:

$T(t) = 20 + C e^{-kt}$

Теперь используем начальные условия для нахождения констант $C$ и $k$.

В начальный момент времени $t=0$ температура тела была $T(0) = 100^\circ$ C.

$100 = 20 + C e^{-k \cdot 0}$

$100 = 20 + C \cdot 1$

$C = 80$

Таким образом, закон охлаждения принимает вид:

$T(t) = 20 + 80 e^{-kt}$

Найдите закон охлаждения тела.

Чтобы найти закон охлаждения полностью, нам нужно определить коэффициент $k$. Мы знаем, что через 20 минут ($t=20$) температура тела стала $T(20) = 60^\circ$ C. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$60 = 20 + 80 e^{-k \cdot 20}$

$40 = 80 e^{-20k}$

$\frac{40}{80} = e^{-20k}$

$0.5 = e^{-20k}$

Прологарифмируем обе части по основанию $e$:

$\ln(0.5) = -20k$

$\ln(\frac{1}{2}) = -20k$

$-\ln(2) = -20k$

$k = \frac{\ln(2)}{20}$

Теперь подставим найденное значение $k$ в уравнение для $T(t)$:

$T(t) = 20 + 80 e^{-(\frac{\ln(2)}{20})t}$

Это выражение можно упростить, используя свойство степеней $a^{xy} = (a^x)^y$ и $e^{\ln x} = x$:

$e^{-(\frac{\ln(2)}{20})t} = (e^{\ln(2)})^{-\frac{t}{20}} = 2^{-\frac{t}{20}}$

Итак, окончательный вид закона охлаждения тела:

$T(t) = 20 + 80 \cdot 2^{-t/20}$

где $t$ измеряется в минутах.

Ответ: Закон охлаждения тела описывается формулой $T(t) = 20 + 80 \cdot 2^{-t/20}$, где $t$ – время в минутах.

Через сколько минут тело остынет до 30° C?

Используем найденный закон охлаждения, чтобы найти время $t$, при котором температура тела $T(t)$ будет равна $30^\circ$ C.

$30 = 20 + 80 \cdot 2^{-t/20}$

Вычтем 20 из обеих частей:

$10 = 80 \cdot 2^{-t/20}$

Разделим обе части на 80:

$\frac{10}{80} = 2^{-t/20}$

$\frac{1}{8} = 2^{-t/20}$

Представим $\frac{1}{8}$ как степень двойки: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

$2^{-3} = 2^{-t/20}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-3 = -\frac{t}{20}$

$3 = \frac{t}{20}$

$t = 3 \cdot 20 = 60$

Таким образом, тело остынет до $30^\circ$ C через 60 минут.

Ответ: Тело остынет до 30° C через 60 минут.

27.10. 1) Моторная лодка движется по озеру со скоростью 20 км/ч. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 с после этого скорость лодки уменьшается до 8 км/ч. Сопротивление воды прямо пропорционально скорости движения лодки. Найдите скорость лодки через 2 мин после остановки мотора.

2) Моторная лодка движется со скоростью 30 км/ч. Найдите скорость лодки через 3 мин после выключения мотора, если сопротивление воды прямо пропорционально скорости движения лодки и коэффициент пропорциональности равен $-(1\frac{2}{3})$.

1)

Пусть $v(t)$ – скорость лодки в момент времени $t$ после выключения мотора. Согласно условию, сила сопротивления воды $F_{сопр}$ прямо пропорциональна скорости движения лодки $v$. Так как сила сопротивления направлена против движения, ее можно записать в виде $F_{сопр} = -kv$, где $k$ – положительный коэффициент пропорциональности.

Согласно второму закону Ньютона, $m \cdot a = F_{сопр}$, где $m$ – масса лодки, а $a = \frac{dv}{dt}$ – её ускорение (производная скорости по времени). Объединив эти два выражения, мы получаем дифференциальное уравнение, описывающее движение лодки после выключения мотора:

$m \frac{dv}{dt} = -kv$

Это уравнение можно переписать в виде:

$\frac{dv}{dt} = -\lambda v$, где $\lambda = \frac{k}{m}$ – новая константа, характеризующая замедление лодки.

Решением этого дифференциального уравнения является функция:

$v(t) = v_0 e^{-\lambda t}$

где $v_0$ – это начальная скорость лодки в момент времени $t=0$ (момент выключения мотора).

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• Начальная скорость $v_0 = 20$ км/ч.
• Через $t_1 = 40$ с скорость лодки уменьшилась до $v_1 = 8$ км/ч.

Подставим эти данные в нашу формулу, чтобы найти параметры движения. Будем измерять время в секундах:

$8 = 20 e^{-\lambda \cdot 40}$

Отсюда мы можем найти значение выражения $e^{-40\lambda}$:

$e^{-40\lambda} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Теперь нам нужно найти скорость лодки через $t_2 = 2$ минуты после остановки мотора. Переведем это время в секунды:

$t_2 = 2 \text{ мин} = 120 \text{ с}$.

Скорость в этот момент времени будет равна:

$v(120) = v_0 e^{-\lambda \cdot 120} = 20 e^{-120\lambda}$

Используя свойство степеней ($a^{bc} = (a^b)^c$), мы можем выразить $e^{-120\lambda}$ через уже известное нам значение $e^{-40\lambda}$:

$e^{-120\lambda} = e^{-40\lambda \cdot 3} = (e^{-40\lambda})^3 = (\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125}$

Наконец, вычисляем искомую скорость:

$v(120) = 20 \cdot \frac{8}{125} = \frac{160}{125} = \frac{32 \cdot 5}{25 \cdot 5} = \frac{32}{25} = 1.28$ км/ч.

Ответ: $1.28$ км/ч.

2)

Модель движения лодки остается прежней, как и в первом пункте. Движение описывается дифференциальным уравнением $\frac{dv}{dt} = -\lambda v$, решением которого является $v(t) = v_0 e^{-\lambda t}$.

В условии сказано, что "коэффициент пропорциональности равен $(-1\frac{2}{3})$". Наиболее вероятная интерпретация этого условия в контексте подобных задач заключается в том, что задан коэффициент в уравнении, связывающем ускорение и скорость: $\frac{dv}{dt} = K v$.

Таким образом, $K = -1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$. Сравнивая с нашей исходной моделью $\frac{dv}{dt} = -\lambda v$, получаем, что $\lambda = -K = \frac{5}{3}$.

Единица измерения коэффициента $\lambda$ должна быть обратной единице времени. Поскольку в вопросе время задано в минутах ($3$ мин), логично предположить, что единицей измерения для $\lambda$ являются обратные минуты (мин⁻¹). Итак, $\lambda = \frac{5}{3}$ мин⁻¹.

Начальная скорость лодки по условию $v_0 = 30$ км/ч.

Формула для скорости в данном случае принимает вид:

$v(t) = 30 e^{-\frac{5}{3}t}$, где время $t$ измеряется в минутах.

Нам необходимо найти скорость лодки через $t = 3$ минуты. Подставляем это значение в формулу:

$v(3) = 30 \cdot e^{-\frac{5}{3} \cdot 3} = 30 \cdot e^{-5}$

Это точное значение искомой скорости.

Ответ: $30e^{-5}$ км/ч.

27.11. Конденсатор емкостью $C$ включается в сеть с напряжением тока $U$ и сопротивлением $R$. Найдите заряд $q$ конденсатора в момент времени $t$ после включения.

Рассмотрим RC-цепь, состоящую из последовательно соединенных источника постоянного напряжения $U$, резистора сопротивлением $R$ и конденсатора емкостью $C$. При замыкании цепи в момент времени $t=0$ конденсатор начинает заряжаться.

Согласно второму правилу Кирхгофа для замкнутого контура, сумма падений напряжений на элементах цепи равна напряжению источника:

$U = U_R + U_C$

где $U_R$ — падение напряжения на резисторе, а $U_C$ — напряжение на конденсаторе.

Падение напряжения на резисторе определяется законом Ома: $U_R = I \cdot R$, где $I$ — сила тока в цепи.

Напряжение на конденсаторе связано с его зарядом $q$ и емкостью $C$ соотношением: $U_C = \frac{q}{C}$.

Сила тока $I$ представляет собой скорость изменения заряда конденсатора, то есть является производной заряда по времени: $I = \frac{dq}{dt}$.

Подставляя эти выражения в уравнение Кирхгофа, получаем дифференциальное уравнение, описывающее процесс зарядки конденсатора:

$U = R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C}$

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения преобразуем его, чтобы разделить переменные:

$R \frac{dq}{dt} = U - \frac{q}{C} = \frac{UC - q}{C}$

$\frac{dq}{UC - q} = \frac{dt}{RC}$

Теперь проинтегрируем обе части этого уравнения:

$\int \frac{dq}{UC - q} = \int \frac{dt}{RC}$

Вычисляя неопределенные интегралы, получаем:

$-\ln|UC - q| = \frac{t}{RC} + K$

где $K$ — постоянная интегрирования. Выразим отсюда $q$:

$\ln|UC - q| = -\frac{t}{RC} - K$

$|UC - q| = e^{-\frac{t}{RC} - K} = e^{-K} \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Поскольку в процессе зарядки заряд $q$ растет от 0 до максимального значения $UC$, выражение $UC-q$ всегда неотрицательно, и знак модуля можно опустить. Обозначив новую константу $A = e^{-K}$, получим общее решение:

$q(t) = UC - A \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Для нахождения константы $A$ используем начальное условие: в момент включения $t=0$ конденсатор не заряжен, то есть $q(0) = 0$.

$0 = UC - A \cdot e^{-\frac{0}{RC}} = UC - A \cdot 1$

Отсюда следует, что $A = UC$.

Подставляем найденное значение $A$ обратно в общее решение и получаем окончательную формулу для зависимости заряда конденсатора от времени:

$q(t) = UC - UC \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Вынося общий множитель $UC$, получаем итоговый вид:

$q(t) = UC(1 - e^{-\frac{t}{RC}})$

Ответ: $q(t) = UC(1 - e^{-\frac{t}{RC}})$

27.12. 1) От $m$ миллиграммов радиоактивного вещества C через 20 мин радиоактивного распада осталось $n$ миллиграммов. Найдите период полураспада радиоактивного вещества C.

2) Имеется 1 г радиоактивного вещества А. Через сколько минут его масса станет равной 0,125 г, если период полураспада А равен 3 мин?

1)

Закон радиоактивного распада описывается формулой:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

где $N(t)$ — масса вещества в момент времени $t$, $N_0$ — начальная масса вещества, $t$ — прошедшее время, $T$ — период полураспада.

По условию задачи имеем:

$N_0 = m$ мг (начальная масса)

$N(t) = n$ мг (масса через 20 минут)

$t = 20$ мин (прошедшее время)

Подставим эти значения в формулу:

$n = m \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{20}{T}}$

Наша цель — найти период полураспада $T$. Выразим его из этого уравнения.

Разделим обе части уравнения на $m$:

$\frac{n}{m} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{20}{T}}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2\left(\frac{n}{m}\right) = \log_2\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{20}{T}}\right)$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем:

$\log_2\left(\frac{n}{m}\right) = \frac{20}{T} \cdot \log_2\left(\frac{1}{2}\right)$

Так как $\log_2\left(\frac{1}{2}\right) = \log_2(2^{-1}) = -1$, уравнение принимает вид:

$\log_2\left(\frac{n}{m}\right) = -\frac{20}{T}$

Теперь выразим $T$:

$T = -\frac{20}{\log_2\left(\frac{n}{m}\right)}$

Используя свойство логарифма $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = -\log_a\left(\frac{y}{x}\right)$, можем переписать знаменатель:

$T = -\frac{20}{-\log_2\left(\frac{m}{n}\right)} = \frac{20}{\log_2\left(\frac{m}{n}\right)}$

Ответ: Период полураспада радиоактивного вещества C равен $T = \frac{20}{\log_2(m/n)}$ минут.

2)

Используем ту же формулу радиоактивного распада:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

По условию задачи имеем:

$N_0 = 1$ г (начальная масса)

$N(t) = 0,125$ г (конечная масса)

$T = 3$ мин (период полураспада)

Нужно найти время $t$, через которое масса вещества станет равной 0,125 г.

Подставим известные значения в формулу:

$0,125 = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3}}$

Преобразуем десятичную дробь 0,125 в обыкновенную:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Теперь представим $\frac{1}{8}$ как степень числа $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Подставим это в наше уравнение:

$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3 = \frac{t}{3}$

Отсюда находим $t$:

$t = 3 \cdot 3 = 9$

Таким образом, масса вещества станет равной 0,125 г через 9 минут.

Ответ: 9 минут.

27.13. Подготовьте сообщение о применении теории дифференциальных уравнений при решении практических задач по биологии (химии, физики).

Дифференциальные уравнения — это математические уравнения, которые связывают некоторую функцию с её производными. Поскольку производная описывает скорость изменения величины, дифференциальные уравнения являются мощнейшим инструментом для моделирования и анализа динамических процессов в различных областях науки. Они позволяют описывать законы природы, предсказывать поведение систем и решать практические задачи.

Применение в биологии

В биологии и экологии дифференциальные уравнения являются основным инструментом для моделирования динамики популяций, распространения эпидемий и других процессов, изменя