Номер 27.10, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.10. 1) Моторная лодка движется по озеру со скоростью 20 км/ч. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 с после этого скорость лодки уменьшается до 8 км/ч. Сопротивление воды прямо пропорционально скорости движения лодки. Найдите скорость лодки через 2 мин после остановки мотора.

2) Моторная лодка движется со скоростью 30 км/ч. Найдите скорость лодки через 3 мин после выключения мотора, если сопротивление воды прямо пропорционально скорости движения лодки и коэффициент пропорциональности равен $-(1\frac{2}{3})$.

1)

Пусть $v(t)$ – скорость лодки в момент времени $t$ после выключения мотора. Согласно условию, сила сопротивления воды $F_{сопр}$ прямо пропорциональна скорости движения лодки $v$. Так как сила сопротивления направлена против движения, ее можно записать в виде $F_{сопр} = -kv$, где $k$ – положительный коэффициент пропорциональности.

Согласно второму закону Ньютона, $m \cdot a = F_{сопр}$, где $m$ – масса лодки, а $a = \frac{dv}{dt}$ – её ускорение (производная скорости по времени). Объединив эти два выражения, мы получаем дифференциальное уравнение, описывающее движение лодки после выключения мотора:

$m \frac{dv}{dt} = -kv$

Это уравнение можно переписать в виде:

$\frac{dv}{dt} = -\lambda v$, где $\lambda = \frac{k}{m}$ – новая константа, характеризующая замедление лодки.

Решением этого дифференциального уравнения является функция:

$v(t) = v_0 e^{-\lambda t}$

где $v_0$ – это начальная скорость лодки в момент времени $t=0$ (момент выключения мотора).

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• Начальная скорость $v_0 = 20$ км/ч.
• Через $t_1 = 40$ с скорость лодки уменьшилась до $v_1 = 8$ км/ч.

Подставим эти данные в нашу формулу, чтобы найти параметры движения. Будем измерять время в секундах:

$8 = 20 e^{-\lambda \cdot 40}$

Отсюда мы можем найти значение выражения $e^{-40\lambda}$:

$e^{-40\lambda} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Теперь нам нужно найти скорость лодки через $t_2 = 2$ минуты после остановки мотора. Переведем это время в секунды:

$t_2 = 2 \text{ мин} = 120 \text{ с}$.

Скорость в этот момент времени будет равна:

$v(120) = v_0 e^{-\lambda \cdot 120} = 20 e^{-120\lambda}$

Используя свойство степеней ($a^{bc} = (a^b)^c$), мы можем выразить $e^{-120\lambda}$ через уже известное нам значение $e^{-40\lambda}$:

$e^{-120\lambda} = e^{-40\lambda \cdot 3} = (e^{-40\lambda})^3 = (\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125}$

Наконец, вычисляем искомую скорость:

$v(120) = 20 \cdot \frac{8}{125} = \frac{160}{125} = \frac{32 \cdot 5}{25 \cdot 5} = \frac{32}{25} = 1.28$ км/ч.

Ответ: $1.28$ км/ч.

2)

Модель движения лодки остается прежней, как и в первом пункте. Движение описывается дифференциальным уравнением $\frac{dv}{dt} = -\lambda v$, решением которого является $v(t) = v_0 e^{-\lambda t}$.

В условии сказано, что "коэффициент пропорциональности равен $(-1\frac{2}{3})$". Наиболее вероятная интерпретация этого условия в контексте подобных задач заключается в том, что задан коэффициент в уравнении, связывающем ускорение и скорость: $\frac{dv}{dt} = K v$.

Таким образом, $K = -1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$. Сравнивая с нашей исходной моделью $\frac{dv}{dt} = -\lambda v$, получаем, что $\lambda = -K = \frac{5}{3}$.

Единица измерения коэффициента $\lambda$ должна быть обратной единице времени. Поскольку в вопросе время задано в минутах ($3$ мин), логично предположить, что единицей измерения для $\lambda$ являются обратные минуты (мин⁻¹). Итак, $\lambda = \frac{5}{3}$ мин⁻¹.

Начальная скорость лодки по условию $v_0 = 30$ км/ч.

Формула для скорости в данном случае принимает вид:

$v(t) = 30 e^{-\frac{5}{3}t}$, где время $t$ измеряется в минутах.

Нам необходимо найти скорость лодки через $t = 3$ минуты. Подставляем это значение в формулу:

$v(3) = 30 \cdot e^{-\frac{5}{3} \cdot 3} = 30 \cdot e^{-5}$

Это точное значение искомой скорости.

Ответ: $30e^{-5}$ км/ч.