Номер 27.4, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.4. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

1) $y' = 2x - 1$ при условии $y(2) = 3$;

2) $y' = 3x^2 - 4$ при условии $y(1) = 2$;

3) $y' = 3x^2 - 4x$ при условии $y(0) = -2$;

4) $y' = 2x - 3x^2$ при условии $y(-1) = 4$.

1) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2x - 1$ с начальным условием $y(2) = 3$.

Чтобы найти решение, сначала найдем общее решение уравнения, проинтегрировав его правую часть по $x$. Это соответствует нахождению первообразной для функции $f(x) = 2x - 1$.

$y(x) = \int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная. Мы получили общее решение $y = x^2 - x + C$.

Теперь используем начальное условие $y(2) = 3$, чтобы найти значение константы $C$. Подставим $x=2$ и $y=3$ в общее решение:

$3 = (2)^2 - 2 + C$

$3 = 4 - 2 + C$

$3 = 2 + C$

Отсюда находим $C$:

$C = 3 - 2 = 1$.

Подставив найденное значение $C=1$ в общее решение, получаем искомое частное решение.

Ответ: $y = x^2 - x + 1$

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 - 4$ с начальным условием $y(1) = 2$.

Сначала находим общее решение путем интегрирования правой части уравнения по $x$:

$y(x) = \int (3x^2 - 4) dx = \int 3x^2 dx - \int 4 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4x + C = x^3 - 4x + C$.

Общее решение имеет вид $y = x^3 - 4x + C$.

Далее, используем начальное условие $y(1) = 2$, чтобы определить значение константы $C$. Подставляем $x=1$ и $y=2$ в общее решение:

$2 = (1)^3 - 4(1) + C$

$2 = 1 - 4 + C$

$2 = -3 + C$

Находим $C$:

$C = 2 + 3 = 5$.

Подставляем $C=5$ в общее решение, чтобы получить частное решение.

Ответ: $y = x^3 - 4x + 5$

3) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 - 4x$ с начальным условием $y(0) = -2$.

Интегрируем правую часть уравнения для нахождения общего решения:

$y(x) = \int (3x^2 - 4x) dx = \int 3x^2 dx - \int 4x dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - 2x^2 + C$.

Общее решение: $y = x^3 - 2x^2 + C$.

Теперь применяем начальное условие $y(0) = -2$. Подставляем $x=0$ и $y=-2$ в полученное общее решение:

$-2 = (0)^3 - 2(0)^2 + C$

$-2 = 0 - 0 + C$

Отсюда следует, что $C = -2$.

Подставляем значение $C$ обратно и получаем частное решение.

Ответ: $y = x^3 - 2x^2 - 2$

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2x - 3x^2$ с начальным условием $y(-1) = 4$.

Находим общее решение интегрированием:

$y(x) = \int (2x - 3x^2) dx = \int 2x dx - \int 3x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^2 - x^3 + C$.

Общее решение: $y = x^2 - x^3 + C$.

Используем начальное условие $y(-1) = 4$, чтобы найти константу $C$. Подставляем $x=-1$ и $y=4$:

$4 = (-1)^2 - (-1)^3 + C$

$4 = 1 - (-1) + C$

$4 = 1 + 1 + C$

$4 = 2 + C$

Находим $C$:

$C = 4 - 2 = 2$.

Подставив $C=2$ в общее решение, получаем искомое частное решение.

Ответ: $y = x^2 - x^3 + 2$