Страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.2. Заполните таблицу:

Таблица 35

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$yy' = x - 1$

$xy' = (x^2 + x)y$

$ydy = (2x^2 - x + 3)dx$

$x^2dy = 2dx$

$ydy = (x^2 - x)(1 + y^2)dx$

$(y + 1)dy = (3x^2 - 2x)dx$

$dy = xe^xdx$

Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как его можно привести к виду $f(y)dy = g(x)dx$. Чтобы разделить переменные, представим производную $y'$ как отношение дифференциалов $\frac{dy}{dx}$:

$y \frac{dy}{dx} = x - 1$

Далее, умножим обе части уравнения на $dx$, чтобы сгруппировать все члены, содержащие $y$, с $dy$ и все члены, содержащие $x$, с $dx$.

$y dy = (x - 1) dx$

В полученном уравнении переменные разделены, так как левая часть зависит только от $y$, а правая — только от $x$. Это и есть искомое уравнение с разделенными переменными.

Ответ: Исходное уравнение $yy' = x - 1$ является уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение с разделенными переменными имеет вид: $y dy = (x - 1) dx$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Заменим $y' = \frac{dy}{dx}$:

$x \frac{dy}{dx} = (x^2 + x)y$

Для разделения переменных сгруппируем все члены с $y$ в левой части, а с $x$ — в правой. Для этого разделим обе части на $x$ и на $y$ (при $x \neq 0, y \neq 0$) и умножим на $dx$.

$\frac{dy}{y} = \frac{x^2 + x}{x} dx$

Упростим выражение в правой части, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{dy}{y} = (x + 1) dx$

В полученном уравнении переменные разделены.

Ответ: Исходное уравнение $xy' = (x^2 + x)y$ является уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение с разделенными переменными имеет вид: $\frac{dy}{y} = (x + 1) dx$.

В данном уравнении переменные уже разделены. Выражение с переменной $y$, а именно $y dy$, находится в левой части, а выражение с переменной $x$, а именно $(2x^2 - x + 3)dx$, — в правой. Уравнение имеет вид $f(y)dy = g(x)dx$.

Ответ: Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными: $ydy = (2x^2 - x + 3)dx$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Хотя дифференциалы $dy$ и $dx$ находятся в разных частях уравнения, в левой части присутствует множитель $x^2$, зависящий от $x$.

Чтобы разделить переменные, необходимо перенести все члены с $x$ в правую часть. Для этого разделим обе части уравнения на $x^2$ (при $x \neq 0$):

$dy = \frac{2}{x^2} dx$

Теперь переменные разделены.

Ответ: Исходное уравнение $x^2dy = 2dx$ является уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение с разделенными переменными имеет вид: $dy = \frac{2}{x^2} dx$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. В правой части уравнения присутствует множитель $(1 + y^2)$, который зависит от $y$.

Для разделения переменных необходимо перенести все члены с $y$ в левую часть. Для этого разделим обе части на $(1 + y^2)$ (это выражение всегда больше нуля, поэтому деление корректно):

$\frac{y}{1 + y^2} dy = (x^2 - x) dx$

Теперь переменные разделены.

Ответ: Исходное уравнение $ydy = (x^2 - x)(1 + y^2)dx$ является уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение с разделенными переменными имеет вид: $\frac{y}{1 + y^2} dy = (x^2 - x) dx$.

В данном уравнении переменные уже разделены. Выражение с переменной $y$, а именно $(y + 1)dy$, находится в левой части, а выражение с переменной $x$, а именно $(3x^2 - 2x)dx$, — в правой. Уравнение соответствует виду $f(y)dy = g(x)dx$.

Ответ: Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными: $(y + 1)dy = (3x^2 - 2x)dx$.

В данном уравнении переменные уже разделены. Левая часть зависит только от $y$ (можно представить как $1 \cdot dy$), а правая — только от $x$ ($xe^x dx$). Уравнение соответствует виду $f(y)dy = g(x)dx$, где $f(y)=1$.

Ответ: Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными: $dy = xe^x dx$.

27.3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1) $y' = y;$

2) $y' = 2x \cdot y;$

3) $y' = 2x - 3;$

4) $y' = 3x^2 + 2x - \pi.$

1)Дано дифференциальное уравнение первого порядка $y' = y$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Запишем производную в виде Лейбница: $y' = \frac{dy}{dx}$.

$\frac{dy}{dx} = y$

Разделим переменные, перенеся все члены с $y$ в левую часть, а с $x$ – в правую (при условии, что $y \neq 0$):

$\frac{dy}{y} = dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dy}{y} = \int dx$

$\ln|y| = x + C_1$, где $C_1$ – произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы выразить $y$, потенцируем обе части уравнения (берем экспоненту):

$|y| = e^{x+C_1} = e^x \cdot e^{C_1}$

Обозначим новую константу $C = \pm e^{C_1}$. Поскольку $y=0$ также является решением исходного уравнения, константа $C$ может быть любым действительным числом. Таким образом, общее решение имеет вид:

$y = Ce^x$

Ответ: $y = Ce^x$

2)Дано дифференциальное уравнение $y' = 2x \cdot y$.

Это также уравнение с разделяющимися переменными. Запишем $y' = \frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

Разделим переменные (при условии, что $y \neq 0$):

$\frac{dy}{y} = 2x \, dx$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx$

$\ln|y| = x^2 + C_1$, где $C_1$ – произвольная постоянная.

Выразим $y$, потенцируя обе части:

$|y| = e^{x^2+C_1} = e^{x^2} \cdot e^{C_1}$

Аналогично предыдущему пункту, заменим $\pm e^{C_1}$ на произвольную постоянную $C$. Решение $y=0$ также подходит. Общее решение:

$y = Ce^{x^2}$

Ответ: $y = Ce^{x^2}$

3)Дано дифференциальное уравнение $y' = 2x - 3$.

В этом уравнении правая часть зависит только от $x$. Чтобы найти $y$, нужно просто проинтегрировать правую часть по $x$.

$y = \int (2x - 3) \, dx$

Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы:

$y = \int 2x \, dx - \int 3 \, dx$

$y = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$

$y = x^2 - 3x + C$, где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $y = x^2 - 3x + C$

4)Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 + 2x - \pi$.

Это уравнение решается прямым интегрированием, так как правая часть зависит только от $x$.

$y = \int (3x^2 + 2x - \pi) \, dx$

Интегрируем почленно:

$y = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int \pi \, dx$

$y = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \pi x + C$

$y = x^3 + x^2 - \pi x + C$, где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $y = x^3 + x^2 - \pi x + C$

27.4. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

1) $y' = 2x - 1$ при условии $y(2) = 3$;

2) $y' = 3x^2 - 4$ при условии $y(1) = 2$;

3) $y' = 3x^2 - 4x$ при условии $y(0) = -2$;

4) $y' = 2x - 3x^2$ при условии $y(-1) = 4$.

1) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2x - 1$ с начальным условием $y(2) = 3$.

Чтобы найти решение, сначала найдем общее решение уравнения, проинтегрировав его правую часть по $x$. Это соответствует нахождению первообразной для функции $f(x) = 2x - 1$.

$y(x) = \int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная. Мы получили общее решение $y = x^2 - x + C$.

Теперь используем начальное условие $y(2) = 3$, чтобы найти значение константы $C$. Подставим $x=2$ и $y=3$ в общее решение:

$3 = (2)^2 - 2 + C$

$3 = 4 - 2 + C$

$3 = 2 + C$

Отсюда находим $C$:

$C = 3 - 2 = 1$.

Подставив найденное значение $C=1$ в общее решение, получаем искомое частное решение.

Ответ: $y = x^2 - x + 1$

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 - 4$ с начальным условием $y(1) = 2$.

Сначала находим общее решение путем интегрирования правой части уравнения по $x$:

$y(x) = \int (3x^2 - 4) dx = \int 3x^2 dx - \int 4 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4x + C = x^3 - 4x + C$.

Общее решение имеет вид $y = x^3 - 4x + C$.

Далее, используем начальное условие $y(1) = 2$, чтобы определить значение константы $C$. Подставляем $x=1$ и $y=2$ в общее решение:

$2 = (1)^3 - 4(1) + C$

$2 = 1 - 4 + C$

$2 = -3 + C$

Находим $C$:

$C = 2 + 3 = 5$.

Подставляем $C=5$ в общее решение, чтобы получить частное решение.

Ответ: $y = x^3 - 4x + 5$

3) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 - 4x$ с начальным условием $y(0) = -2$.

Интегрируем правую часть уравнения для нахождения общего решения:

$y(x) = \int (3x^2 - 4x) dx = \int 3x^2 dx - \int 4x dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - 2x^2 + C$.

Общее решение: $y = x^3 - 2x^2 + C$.

Теперь применяем начальное условие $y(0) = -2$. Подставляем $x=0$ и $y=-2$ в полученное общее решение:

$-2 = (0)^3 - 2(0)^2 + C$

$-2 = 0 - 0 + C$

Отсюда следует, что $C = -2$.

Подставляем значение $C$ обратно и получаем частное решение.

Ответ: $y = x^3 - 2x^2 - 2$

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2x - 3x^2$ с начальным условием $y(-1) = 4$.

Находим общее решение интегрированием:

$y(x) = \int (2x - 3x^2) dx = \int 2x dx - \int 3x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^2 - x^3 + C$.

Общее решение: $y = x^2 - x^3 + C$.

Используем начальное условие $y(-1) = 4$, чтобы найти константу $C$. Подставляем $x=-1$ и $y=4$:

$4 = (-1)^2 - (-1)^3 + C$

$4 = 1 - (-1) + C$

$4 = 1 + 1 + C$

$4 = 2 + C$

Находим $C$:

$C = 4 - 2 = 2$.

Подставив $C=2$ в общее решение, получаем искомое частное решение.

Ответ: $y = x^2 - x^3 + 2$

27.5. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

1) $y' = \frac{x}{y}$ при условии $y(1) = -2$;

2) $y' = 3yx^2$ при условии $y(1) = 1$;

3) $2y' = y^{-1}\cos x$ при условии $y(0) = 2$;

4) $y' = \frac{1}{1+x^2}$ при условии $y(1) = \pi.$

1) Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $y' = -\frac{x}{y}$ и начальное условие $y(1) = -2$.

Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Разделим переменные, умножив обе части на $y \cdot dx$:

$y \, dy = -x \, dx$

Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int y \, dy = \int -x \, dx$

$\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C_1$

Умножим на 2 и перенесем член с $x$ в левую часть, чтобы получить общее решение. Пусть $C = 2C_1$.

$y^2 + x^2 = C$

Теперь используем начальное условие $y(1) = -2$ для нахождения константы $C$. Подставим $x=1$ и $y=-2$ в общее решение:

$(-2)^2 + (1)^2 = C$

$4 + 1 = C$

$C = 5$

Таким образом, неявное частное решение имеет вид:

$x^2 + y^2 = 5$

Выразим $y$ из этого уравнения:

$y^2 = 5 - x^2$

$y = \pm\sqrt{5 - x^2}$

Так как по начальному условию $y(1) = -2$ (значение $y$ отрицательно), мы выбираем знак "минус".

Ответ: $y = -\sqrt{5 - x^2}$

2) Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $y' = 3yx^2$ и начальное условие $y(1) = 1$.

Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 3yx^2$

Разделим переменные (предполагая, что $y \neq 0$):

$\frac{dy}{y} = 3x^2 \, dx$

Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dy}{y} = \int 3x^2 \, dx$

$\ln|y| = x^3 + C_1$

Выразим $y$ для получения общего решения. Потенцируем обе части:

$|y| = e^{x^3 + C_1} = e^{x^3} \cdot e^{C_1}$

Пусть $C = \pm e^{C_1}$. Тогда общее решение можно записать как:

$y = Ce^{x^3}$

Используем начальное условие $y(1) = 1$ для нахождения $C$. Подставим $x=1$ и $y=1$:

$1 = C \cdot e^{1^3}$

$1 = C \cdot e$

$C = \frac{1}{e} = e^{-1}$

Подставим найденное значение $C$ в общее решение:

$y = e^{-1}e^{x^3} = e^{x^3 - 1}$

Ответ: $y = e^{x^3-1}$

3) Дано дифференциальное уравнение $2y' = y^{-1}\cos x$ и начальное условие $y(0) = 2$.

Перепишем уравнение, заменив $y'$ на $\frac{dy}{dx}$ и $y^{-1}$ на $\frac{1}{y}$:

$2\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{y}$

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их:

$2y \, dy = \cos x \, dx$

Проинтегрируем обе части:

$\int 2y \, dy = \int \cos x \, dx$

$2\frac{y^2}{2} = \sin x + C$

$y^2 = \sin x + C$

Теперь используем начальное условие $y(0) = 2$. Подставим $x=0$ и $y=2$:

$2^2 = \sin(0) + C$

$4 = 0 + C$

$C = 4$

Частное решение в неявном виде:

$y^2 = \sin x + 4$

Выразим $y$:

$y = \pm\sqrt{\sin x + 4}$

Согласно начальному условию $y(0)=2$ (значение $y$ положительно), выбираем знак "плюс".

Ответ: $y = \sqrt{\sin x + 4}$

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = \frac{1}{1+x^2}$ и начальное условие $y(1) = \pi$.

Это простейшее дифференциальное уравнение, которое решается прямым интегрированием. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

Чтобы найти $y$, проинтегрируем правую часть по $x$:

$y = \int \frac{1}{1+x^2} \, dx$

Интеграл от данной функции является арктангенсом:

$y = \arctan(x) + C$

Это общее решение. Теперь найдем константу $C$, используя начальное условие $y(1) = \pi$. Подставим $x=1$ и $y=\pi$:

$\pi = \arctan(1) + C$

Мы знаем, что $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

$\pi = \frac{\pi}{4} + C$

$C = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Подставим значение $C$ обратно в общее решение, чтобы получить частное решение.

Ответ: $y = \arctan(x) + \frac{3\pi}{4}$

27.6. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1) $y' = 2x\cos^2y;$

2) $y' = 4x\sin^2y;$

3) $y' = e^{2x} + 4x;$

4) $y' = \frac{1+y^2}{1+x^2}.$

1)

Данное уравнение $y' = 2x\cos^2y$ является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Запишем производную $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 2x\cos^2y$

Разделим переменные. Для этого перенесем все слагаемые, содержащие $y$, в левую часть, а слагаемые, содержащие $x$, в правую. Это возможно при условии, что $\cos^2y \neq 0$.

$\frac{dy}{\cos^2y} = 2x dx$

Теперь проинтегрируем обе части полученного уравнения:

$\int \frac{dy}{\cos^2y} = \int 2x dx$

Левый интеграл является табличным: $\int \frac{dy}{\cos^2y} = \tan y$.

Правый интеграл: $\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Приравнивая результаты интегрирования, получаем общее решение:

$\tan y = x^2 + C$

Необходимо также рассмотреть случай, когда деление было невозможно, то есть $\cos^2y = 0$. Это уравнение имеет решения $y = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число. Подставив эти значения в исходное уравнение, получим $y' = (\frac{\pi}{2} + k\pi)' = 0$. Правая часть уравнения $2x\cos^2(\frac{\pi}{2} + k\pi) = 2x \cdot 0 = 0$. Так как $0=0$, функции $y = \frac{\pi}{2} + k\pi$ также являются решениями (особыми решениями).

Ответ: $\tan y = x^2 + C$, где $C$ – произвольная постоянная; $y = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2)

Уравнение $y' = 4x\sin^2y$ также является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим $y'$ на $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 4x\sin^2y$

Разделяем переменные, предполагая, что $\sin^2y \neq 0$:

$\frac{dy}{\sin^2y} = 4x dx$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{\sin^2y} = \int 4x dx$

Вычисляем интегралы: $\int \frac{dy}{\sin^2y} = -\cot y$ и $\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 2x^2 + C_1$.

Получаем: $-\cot y = 2x^2 + C_1$.

Умножая на -1 и обозначая $-C_1$ как новую произвольную постоянную $C$, получаем общее решение:

$\cot y = -2x^2 + C$

Рассмотрим случай $\sin^2y = 0$, то есть $y = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Производная $y' = (k\pi)' = 0$. Правая часть исходного уравнения $4x\sin^2(k\pi) = 4x \cdot 0 = 0$. Следовательно, $y = k\pi$ являются особыми решениями.

Ответ: $\cot y = C - 2x^2$, где $C$ – произвольная постоянная; $y = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3)

Уравнение $y' = e^{2x} + 4x$ является простейшим дифференциальным уравнением, правая часть которого зависит только от $x$. Для нахождения общего решения нужно проинтегрировать правую часть по $x$.

$y = \int (e^{2x} + 4x) dx$

Используем свойство линейности интеграла:

$y = \int e^{2x} dx + \int 4x dx$

Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$

$\int 4x dx = 4\frac{x^2}{2} = 2x^2$

Суммируя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общее решение:

$y = \frac{1}{2}e^{2x} + 2x^2 + C$

Ответ: $y = \frac{1}{2}e^{2x} + 2x^2 + C$.

4)

Уравнение $y' = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ является уравнением с разделяющимися переменными.

$\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$

Разделяем переменные. Отметим, что выражение $1+y^2$ всегда больше нуля, поэтому деление на него не приводит к потере решений.

$\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$

Оба интеграла являются табличными и равны арктангенсам:

$\arctan y = \arctan x + C$

где $C$ — произвольная постоянная. Это и есть общее решение, представленное в неявном виде.

Ответ: $\arctan y = \arctan x + C$.

27.7. 1) Докажите, что функция $y = 5e^{3x}$ является решением уравнения $y' = -2y$.

2) Докажите, что функция $y = 1,7e^{-2x}$ является решением уравнения $y' = -2y$.

3) Докажите, что функция $y = \pi e^{-5x}$ является решением уравнения $y' = -5y$.

1) Чтобы доказать, что функция $y = 5e^{-2x}$ является решением уравнения $y' = -2y$, необходимо найти производную данной функции и подставить её и саму функцию в уравнение, чтобы проверить, выполняется ли равенство.

Найдем производную $y'$ от функции $y = 5e^{-2x}$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (5e^{-2x})' = 5 \cdot (e^{-2x})' = 5 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = -10e^{-2x}$.

Теперь подставим полученные выражения для $y'$ и $y$ в левую и правую части уравнения $y' = -2y$.

Левая часть: $y' = -10e^{-2x}$.

Правая часть: $-2y = -2 \cdot (5e^{-2x}) = -10e^{-2x}$.

Поскольку левая и правая части уравнения равны ($-10e^{-2x} = -10e^{-2x}$), тождество выполняется. Это доказывает, что функция $y = 5e^{-2x}$ является решением данного уравнения.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $y = 1,7e^{-2x}$ является решением уравнения $y' = -2y$, проделаем аналогичные шаги.

Находим производную $y'$ от функции $y = 1,7e^{-2x}$:

$y' = (1,7e^{-2x})' = 1,7 \cdot (e^{-2x})' = 1,7 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = -3,4e^{-2x}$.

Подставляем $y'$ и $y$ в уравнение $y' = -2y$.

Левая часть: $y' = -3,4e^{-2x}$.

Правая часть: $-2y = -2 \cdot (1,7e^{-2x}) = -3,4e^{-2x}$.

Левая и правая части равны, следовательно, данная функция является решением уравнения.

Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что функция $y = \pi e^{-5x}$ является решением уравнения $y' = -5y$, найдем ее производную и подставим в уравнение.

Находим производную $y'$ от функции $y = \pi e^{-5x}$:

$y' = (\pi e^{-5x})' = \pi \cdot (e^{-5x})' = \pi \cdot e^{-5x} \cdot (-5) = -5\pi e^{-5x}$.

Подставляем $y'$ и $y$ в уравнение $y' = -5y$.

Левая часть: $y' = -5\pi e^{-5x}$.

Правая часть: $-5y = -5 \cdot (\pi e^{-5x}) = -5\pi e^{-5x}$.

Поскольку левая и правая части уравнения совпали, функция является решением уравнения.

Ответ: Доказано.