Номер 27.5, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.5. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

1) $y' = \frac{x}{y}$ при условии $y(1) = -2$;

2) $y' = 3yx^2$ при условии $y(1) = 1$;

3) $2y' = y^{-1}\cos x$ при условии $y(0) = 2$;

4) $y' = \frac{1}{1+x^2}$ при условии $y(1) = \pi.$

1) Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $y' = -\frac{x}{y}$ и начальное условие $y(1) = -2$.

Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Разделим переменные, умножив обе части на $y \cdot dx$:

$y \, dy = -x \, dx$

Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int y \, dy = \int -x \, dx$

$\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C_1$

Умножим на 2 и перенесем член с $x$ в левую часть, чтобы получить общее решение. Пусть $C = 2C_1$.

$y^2 + x^2 = C$

Теперь используем начальное условие $y(1) = -2$ для нахождения константы $C$. Подставим $x=1$ и $y=-2$ в общее решение:

$(-2)^2 + (1)^2 = C$

$4 + 1 = C$

$C = 5$

Таким образом, неявное частное решение имеет вид:

$x^2 + y^2 = 5$

Выразим $y$ из этого уравнения:

$y^2 = 5 - x^2$

$y = \pm\sqrt{5 - x^2}$

Так как по начальному условию $y(1) = -2$ (значение $y$ отрицательно), мы выбираем знак "минус".

Ответ: $y = -\sqrt{5 - x^2}$

2) Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $y' = 3yx^2$ и начальное условие $y(1) = 1$.

Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 3yx^2$

Разделим переменные (предполагая, что $y \neq 0$):

$\frac{dy}{y} = 3x^2 \, dx$

Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dy}{y} = \int 3x^2 \, dx$

$\ln|y| = x^3 + C_1$

Выразим $y$ для получения общего решения. Потенцируем обе части:

$|y| = e^{x^3 + C_1} = e^{x^3} \cdot e^{C_1}$

Пусть $C = \pm e^{C_1}$. Тогда общее решение можно записать как:

$y = Ce^{x^3}$

Используем начальное условие $y(1) = 1$ для нахождения $C$. Подставим $x=1$ и $y=1$:

$1 = C \cdot e^{1^3}$

$1 = C \cdot e$

$C = \frac{1}{e} = e^{-1}$

Подставим найденное значение $C$ в общее решение:

$y = e^{-1}e^{x^3} = e^{x^3 - 1}$

Ответ: $y = e^{x^3-1}$

3) Дано дифференциальное уравнение $2y' = y^{-1}\cos x$ и начальное условие $y(0) = 2$.

Перепишем уравнение, заменив $y'$ на $\frac{dy}{dx}$ и $y^{-1}$ на $\frac{1}{y}$:

$2\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{y}$

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их:

$2y \, dy = \cos x \, dx$

Проинтегрируем обе части:

$\int 2y \, dy = \int \cos x \, dx$

$2\frac{y^2}{2} = \sin x + C$

$y^2 = \sin x + C$

Теперь используем начальное условие $y(0) = 2$. Подставим $x=0$ и $y=2$:

$2^2 = \sin(0) + C$

$4 = 0 + C$

$C = 4$

Частное решение в неявном виде:

$y^2 = \sin x + 4$

Выразим $y$:

$y = \pm\sqrt{\sin x + 4}$

Согласно начальному условию $y(0)=2$ (значение $y$ положительно), выбираем знак "плюс".

Ответ: $y = \sqrt{\sin x + 4}$

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = \frac{1}{1+x^2}$ и начальное условие $y(1) = \pi$.

Это простейшее дифференциальное уравнение, которое решается прямым интегрированием. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

Чтобы найти $y$, проинтегрируем правую часть по $x$:

$y = \int \frac{1}{1+x^2} \, dx$

Интеграл от данной функции является арктангенсом:

$y = \arctan(x) + C$

Это общее решение. Теперь найдем константу $C$, используя начальное условие $y(1) = \pi$. Подставим $x=1$ и $y=\pi$:

$\pi = \arctan(1) + C$

Мы знаем, что $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

$\pi = \frac{\pi}{4} + C$

$C = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Подставим значение $C$ обратно в общее решение, чтобы получить частное решение.

Ответ: $y = \arctan(x) + \frac{3\pi}{4}$