Номер 27.11, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.11. Конденсатор емкостью $C$ включается в сеть с напряжением тока $U$ и сопротивлением $R$. Найдите заряд $q$ конденсатора в момент времени $t$ после включения.

Рассмотрим RC-цепь, состоящую из последовательно соединенных источника постоянного напряжения $U$, резистора сопротивлением $R$ и конденсатора емкостью $C$. При замыкании цепи в момент времени $t=0$ конденсатор начинает заряжаться.

Согласно второму правилу Кирхгофа для замкнутого контура, сумма падений напряжений на элементах цепи равна напряжению источника:

$U = U_R + U_C$

где $U_R$ — падение напряжения на резисторе, а $U_C$ — напряжение на конденсаторе.

Падение напряжения на резисторе определяется законом Ома: $U_R = I \cdot R$, где $I$ — сила тока в цепи.

Напряжение на конденсаторе связано с его зарядом $q$ и емкостью $C$ соотношением: $U_C = \frac{q}{C}$.

Сила тока $I$ представляет собой скорость изменения заряда конденсатора, то есть является производной заряда по времени: $I = \frac{dq}{dt}$.

Подставляя эти выражения в уравнение Кирхгофа, получаем дифференциальное уравнение, описывающее процесс зарядки конденсатора:

$U = R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C}$

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения преобразуем его, чтобы разделить переменные:

$R \frac{dq}{dt} = U - \frac{q}{C} = \frac{UC - q}{C}$

$\frac{dq}{UC - q} = \frac{dt}{RC}$

Теперь проинтегрируем обе части этого уравнения:

$\int \frac{dq}{UC - q} = \int \frac{dt}{RC}$

Вычисляя неопределенные интегралы, получаем:

$-\ln|UC - q| = \frac{t}{RC} + K$

где $K$ — постоянная интегрирования. Выразим отсюда $q$:

$\ln|UC - q| = -\frac{t}{RC} - K$

$|UC - q| = e^{-\frac{t}{RC} - K} = e^{-K} \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Поскольку в процессе зарядки заряд $q$ растет от 0 до максимального значения $UC$, выражение $UC-q$ всегда неотрицательно, и знак модуля можно опустить. Обозначив новую константу $A = e^{-K}$, получим общее решение:

$q(t) = UC - A \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Для нахождения константы $A$ используем начальное условие: в момент включения $t=0$ конденсатор не заряжен, то есть $q(0) = 0$.

$0 = UC - A \cdot e^{-\frac{0}{RC}} = UC - A \cdot 1$

Отсюда следует, что $A = UC$.

Подставляем найденное значение $A$ обратно в общее решение и получаем окончательную формулу для зависимости заряда конденсатора от времени:

$q(t) = UC - UC \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Вынося общий множитель $UC$, получаем итоговый вид:

$q(t) = UC(1 - e^{-\frac{t}{RC}})$

Ответ: $q(t) = UC(1 - e^{-\frac{t}{RC}})$