Номер 28.1, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.1. Заполните таблицу:

Таблица 37

Дифференциальное уравнение: $y'' - 4y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: $y'' - 23y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: $y'' + 25y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: (пусто)

Характеристическое уравнение: $k^2 + 8k = 0$

Дифференциальное уравнение: $y'' + 6y' - 16y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: (пусто)

Характеристическое уравнение: $2k^2 - 8k + 24 = 0$

Дифференциальное уравнение: $2y'' + 4y' + 19y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: $3y'' - 8y' + 28y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Для дифференциального уравнения $y' - 4y = 0$:

Для нахождения характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, мы заменяем производные функции $y$ на степени переменной $k$. В частности, $y'$ заменяется на $k$, а сама функция $y$ — на 1.

Исходное уравнение: $1 \cdot y' - 4 \cdot y = 0$.

После замены получаем: $1 \cdot k - 4 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $k - 4 = 0$

Для дифференциального уравнения $y' - 23y = 0$:

Аналогично предыдущему случаю, производим замену $y'$ на $k$ и $y$ на 1.

Исходное уравнение: $1 \cdot y' - 23 \cdot y = 0$.

Характеристическое уравнение: $1 \cdot k - 23 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $k - 23 = 0$

Для дифференциального уравнения $y'' + 25y = 0$:

В этом уравнении второго порядка мы заменяем $y''$ на $k^2$, $y'$ на $k$ и $y$ на 1. Поскольку в уравнении отсутствует член с первой производной ($y'$), коэффициент при $k$ в характеристическом уравнении будет равен нулю.

Исходное уравнение: $1 \cdot y'' + 0 \cdot y' + 25 \cdot y = 0$.

После замены получаем: $1 \cdot k^2 + 0 \cdot k + 25 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $k^2 + 25 = 0$

Для характеристического уравнения $k^2 + 8k = 0$:

Для восстановления дифференциального уравнения из характеристического, мы выполняем обратную замену: $k^2$ на $y''$, $k$ на $y'$, а постоянный член (в данном случае 0) умножается на $y$.

Исходное уравнение: $1 \cdot k^2 + 8 \cdot k + 0 = 0$.

После обратной замены получаем: $1 \cdot y'' + 8 \cdot y' + 0 \cdot y = 0$.

Ответ: $y'' + 8y' = 0$

Для дифференциального уравнения $y'' + 6y' - 16y = 0$:

Производим стандартную замену для уравнения второго порядка: $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$.

Исходное уравнение: $1 \cdot y'' + 6 \cdot y' - 16 \cdot y = 0$.

Характеристическое уравнение: $1 \cdot k^2 + 6 \cdot k - 16 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $k^2 + 6k - 16 = 0$

Для характеристического уравнения $2k^2 - 8k + 24 = 0$:

Выполняем обратную замену: $k^2 \rightarrow y''$, $k \rightarrow y'$, $1 \rightarrow y$. Коэффициенты при степенях $k$ становятся коэффициентами при соответствующих производных $y$.

Исходное уравнение: $2 \cdot k^2 - 8 \cdot k + 24 = 0$.

Дифференциальное уравнение: $2 \cdot y'' - 8 \cdot y' + 24 \cdot y = 0$.

Ответ: $2y'' - 8y' + 24y = 0$

Для дифференциального уравнения $2y'' + 4y' + 19y = 0$:

Выполняем замену $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$, сохраняя коэффициенты.

Исходное уравнение: $2 \cdot y'' + 4 \cdot y' + 19 \cdot y = 0$.

Характеристическое уравнение: $2 \cdot k^2 + 4 \cdot k + 19 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $2k^2 + 4k + 19 = 0$

Для дифференциального уравнения $3y'' - 8y' + 28y = 0$:

Выполняем замену $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$, сохраняя коэффициенты.

Исходное уравнение: $3 \cdot y'' - 8 \cdot y' + 28 \cdot y = 0$.

Характеристическое уравнение: $3 \cdot k^2 - 8 \cdot k + 28 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $3k^2 - 8k + 28 = 0$