Номер 28.6, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.6. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

1) $y'' - 6y' + 9y = 0$ при условии $y(0) = 1, y(1) = 2;$

2) $y'' + 2y' + y = 0$ при условии $y(0) = 3, y(1) = 4;$

3) $y'' - y' - 2y = 0$ при условии $y(0) = 2, y(1) = 1;$

4) $y'' - 2y' - 8y = 0$ при условии $y(0) = 2, y(1) = 0.$

1) $y'' - 6y' + 9y = 0$ при условии $y(0) = 1, y(1) = 2$

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение:

$k^2 - 6k + 9 = 0$

Это полный квадрат:

$(k - 3)^2 = 0$

Уравнение имеет один кратный корень $k_1 = k_2 = 3$.

В случае кратных корней общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{kx}$

В нашем случае:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x}$

Теперь используем начальные условия для нахождения постоянных $C_1$ и $C_2$.

Из условия $y(0) = 1$:

$1 = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{3 \cdot 0}$

$1 = C_1 \cdot e^0$

$C_1 = 1$

Из условия $y(1) = 2$:

$2 = (C_1 + C_2 \cdot 1)e^{3 \cdot 1}$

$2 = (C_1 + C_2)e^3$

Подставим найденное значение $C_1 = 1$:

$2 = (1 + C_2)e^3$

$2e^{-3} = 1 + C_2$

$C_2 = 2e^{-3} - 1$

Подставляем найденные константы $C_1$ и $C_2$ в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = (1 + (2e^{-3} - 1)x)e^{3x}$

Ответ: $y(x) = (1 + (2e^{-3} - 1)x)e^{3x}$

2) $y'' + 2y' + y = 0$ при условии $y(0) = 3, y(1) = 4$

Составим характеристическое уравнение:

$k^2 + 2k + 1 = 0$

Это полный квадрат:

$(k + 1)^2 = 0$

Уравнение имеет один кратный корень $k_1 = k_2 = -1$.

Общее решение имеет вид:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x}$

Используем начальные условия для нахождения $C_1$ и $C_2$.

Из условия $y(0) = 3$:

$3 = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{-0}$

$3 = C_1 \cdot 1$

$C_1 = 3$

Из условия $y(1) = 4$:

$4 = (C_1 + C_2 \cdot 1)e^{-1}$

$4 = (C_1 + C_2)e^{-1}$

Подставим $C_1 = 3$:

$4 = (3 + C_2)e^{-1}$

$4e = 3 + C_2$

$C_2 = 4e - 3$

Подставляем найденные константы в общее решение:

$y(x) = (3 + (4e - 3)x)e^{-x}$

Ответ: $y(x) = (3 + (4e - 3)x)e^{-x}$

3) $y'' - y' - 2y = 0$ при условии $y(0) = 2, y(1) = 1$

Составим характеристическое уравнение:

$k^2 - k - 2 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$k_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$k_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Корни действительные и различные, поэтому общее решение имеет вид:

$y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$

$y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-x}$

Используем начальные условия для нахождения $C_1$ и $C_2$.

Из условия $y(0) = 2$:

$2 = C_1e^{2 \cdot 0} + C_2e^{-0}$

$2 = C_1 + C_2$

Из условия $y(1) = 1$:

$1 = C_1e^{2 \cdot 1} + C_2e^{-1}$

$1 = C_1e^2 + C_2e^{-1}$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} C_1 + C_2 = 2 \\ C_1e^2 + C_2e^{-1} = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $C_2 = 2 - C_1$ и подставим во второе:

$1 = C_1e^2 + (2 - C_1)e^{-1}$

$1 = C_1e^2 + 2e^{-1} - C_1e^{-1}$

$1 - 2e^{-1} = C_1(e^2 - e^{-1})$

$C_1 = \frac{1 - 2e^{-1}}{e^2 - e^{-1}} = \frac{e(1 - 2e^{-1})}{e(e^2 - e^{-1})} = \frac{e - 2}{e^3 - 1}$

Теперь найдем $C_2$:

$C_2 = 2 - C_1 = 2 - \frac{e - 2}{e^3 - 1} = \frac{2(e^3 - 1) - (e - 2)}{e^3 - 1} = \frac{2e^3 - 2 - e + 2}{e^3 - 1} = \frac{2e^3 - e}{e^3 - 1}$

Подставляем константы в общее решение:

$y(x) = \frac{e - 2}{e^3 - 1}e^{2x} + \frac{2e^3 - e}{e^3 - 1}e^{-x}$

Ответ: $y(x) = \frac{e - 2}{e^3 - 1}e^{2x} + \frac{2e^3 - e}{e^3 - 1}e^{-x}$

4) $y'' - 2y' - 8y = 0$ при условии $y(0) = 2, y(1) = 0$

Составим характеристическое уравнение:

$k^2 - 2k - 8 = 0$

Найдем корни:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$k_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$k_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Корни действительные и различные, поэтому общее решение имеет вид:

$y(x) = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}$

Используем начальные условия для нахождения $C_1$ и $C_2$.

Из условия $y(0) = 2$:

$2 = C_1e^{4 \cdot 0} + C_2e^{-2 \cdot 0}$

$2 = C_1 + C_2$

Из условия $y(1) = 0$:

$0 = C_1e^{4 \cdot 1} + C_2e^{-2 \cdot 1}$

$0 = C_1e^4 + C_2e^{-2}$

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} C_1 + C_2 = 2 \\ C_1e^4 + C_2e^{-2} = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $C_2 = 2 - C_1$. Подставим во второе:

$0 = C_1e^4 + (2 - C_1)e^{-2}$

$0 = C_1e^4 + 2e^{-2} - C_1e^{-2}$

$-2e^{-2} = C_1(e^4 - e^{-2})$

$C_1 = \frac{-2e^{-2}}{e^4 - e^{-2}} = \frac{e^2(-2e^{-2})}{e^2(e^4 - e^{-2})} = \frac{-2}{e^6 - 1}$

Теперь найдем $C_2$:

$C_2 = 2 - C_1 = 2 - \left(\frac{-2}{e^6 - 1}\right) = 2 + \frac{2}{e^6 - 1} = \frac{2(e^6 - 1) + 2}{e^6 - 1} = \frac{2e^6 - 2 + 2}{e^6 - 1} = \frac{2e^6}{e^6 - 1}$

Подставляем константы в общее решение:

$y(x) = \frac{-2}{e^6 - 1}e^{4x} + \frac{2e^6}{e^6 - 1}e^{-2x} = \frac{2}{e^6 - 1}(-e^{4x} + e^6e^{-2x})$

Ответ: $y(x) = \frac{2}{e^6 - 1}(e^{6-2x} - e^{4x})$