Номер 28.7, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.7. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

1) $y'' + y = 0$ при условии $y(0) = 1$, $y(\frac{\pi}{2}) = 2$;

2) $y'' + 16y = 0$ при условии $y(0) = 2$, $y(\frac{\pi}{8}) = -1$.

1) Дано дифференциальное уравнение $y'' + y = 0$ с условиями $y(0) = 1$ и $y(\frac{\pi}{2}) = 2$.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение:

$k^2 + 1 = 0$

Находим корни этого уравнения:

$k^2 = -1$

$k_{1,2} = \pm \sqrt{-1} = \pm i$

Корни являются чисто мнимыми, что является частным случаем комплексных корней $\alpha \pm i\beta$, где $\alpha = 0$ и $\beta = 1$. Общее решение дифференциального уравнения в таком случае имеет вид:

$y(x) = C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)$

Подставив значение $\beta = 1$, получаем общее решение для нашего уравнения:

$y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$

Теперь необходимо найти константы $C_1$ и $C_2$, используя заданные условия. Это называется решением задачи Коши.

Используем первое условие $y(0) = 1$:

$y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 1$

$C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 1$

$C_1 = 1$

Теперь используем второе условие $y(\frac{\pi}{2}) = 2$ и уже найденное значение $C_1 = 1$:

$y(\frac{\pi}{2}) = 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) + C_2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$

$1 \cdot 0 + C_2 \cdot 1 = 2$

$C_2 = 2$

Найдены значения констант: $C_1 = 1$ и $C_2 = 2$. Подставляем их в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = 1 \cdot \cos(x) + 2 \cdot \sin(x)$

Ответ: $y(x) = \cos(x) + 2\sin(x)$

2) Дано дифференциальное уравнение $y'' + 16y = 0$ с условиями $y(0) = 2$ и $y(\frac{\pi}{8}) = -1$.

Это также линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение:

$k^2 + 16 = 0$

Находим корни:

$k^2 = -16$

$k_{1,2} = \pm \sqrt{-16} = \pm 4i$

Корни являются чисто мнимыми с $\beta = 4$. Общее решение уравнения имеет вид:

$y(x) = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$

Теперь используем заданные условия для нахождения постоянных $C_1$ и $C_2$.

Используем первое условие $y(0) = 2$:

$y(0) = C_1 \cos(4 \cdot 0) + C_2 \sin(4 \cdot 0) = 2$

$C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 2$

$C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 2$

$C_1 = 2$

Используем второе условие $y(\frac{\pi}{8}) = -1$ и найденное значение $C_1 = 2$:

$y(\frac{\pi}{8}) = 2 \cos(4 \cdot \frac{\pi}{8}) + C_2 \sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = -1$

$2 \cos(\frac{\pi}{2}) + C_2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

$2 \cdot 0 + C_2 \cdot 1 = -1$

$C_2 = -1$

Найдены значения констант: $C_1 = 2$ и $C_2 = -1$. Подставляем их в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = 2\cos(4x) - 1 \cdot \sin(4x)$

Ответ: $y(x) = 2\cos(4x) - \sin(4x)$