Номер 28.9, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.9. Напишите однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решением которого является уравнение гармонического колебания:

1) $y = \cos(2x - 1);$

2) $y = 2\sin(2x - 3);$

3) $y = e^{2x} \cdot \sin(\sqrt{3}x - 5);$

4) $y = e^{-x} \cdot \sin(2\sqrt{2}x - 1).$

Для решения задачи воспользуемся тем фактом, что если решением однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является функция вида $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, то корни его характеристического уравнения — это комплексно-сопряженная пара чисел $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$. Само характеристическое уравнение имеет вид $k^2 - 2\alpha k + (\alpha^2 + \beta^2) = 0$, а соответствующее ему дифференциальное уравнение — $y'' - 2\alpha y' + (\alpha^2 + \beta^2)y = 0$.

1) Дано уравнение гармонического колебания $y = \cos(2x - 1)$. Это частное решение, которое соответствует общему виду $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$. Сравнивая с общей формулой $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, находим, что $\alpha = 0$ и $\beta = 2$.Следовательно, корни характеристического уравнения равны $k = \pm 2i$.Подставляем $\alpha$ и $\beta$ в формулу дифференциального уравнения:$y'' - 2(0)y' + (0^2 + 2^2)y = 0$$y'' + 4y = 0$

Ответ: $y'' + 4y = 0$.

2) Дано уравнение $y = 2\sin(2x - 3)$. Это также частное решение, соответствующее общему виду $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$. Как и в предыдущем пункте, отсюда следует, что $\alpha = 0$ и $\beta = 2$.Корни характеристического уравнения: $k = \pm 2i$.Дифференциальное уравнение имеет тот же вид:$y'' - 2(0)y' + (0^2 + 2^2)y = 0$$y'' + 4y = 0$

Ответ: $y'' + 4y = 0$.

3) Дано уравнение $y = e^{2x} \cdot \sin(\sqrt{3}x - 5)$. Это уравнение затухающих (в данном случае, возрастающих) колебаний. Сравнивая с общей формулой $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, находим, что $\alpha = 2$ и $\beta = \sqrt{3}$.Корни характеристического уравнения равны $k = 2 \pm i\sqrt{3}$.Подставляем $\alpha$ и $\beta$ в формулу дифференциального уравнения:$y'' - 2(2)y' + (2^2 + (\sqrt{3})^2)y = 0$$y'' - 4y' + (4 + 3)y = 0$$y'' - 4y' + 7y = 0$

Ответ: $y'' - 4y' + 7y = 0$.

4) Дано уравнение $y = e^{-x} \cdot \sin(2\sqrt{2}x - 1)$. Это уравнение затухающих колебаний. Сравнивая с общей формулой, находим, что $\alpha = -1$ и $\beta = 2\sqrt{2}$.Корни характеристического уравнения равны $k = -1 \pm i(2\sqrt{2})$.Подставляем $\alpha$ и $\beta$ в формулу дифференциального уравнения:$y'' - 2(-1)y' + ((-1)^2 + (2\sqrt{2})^2)y = 0$$y'' + 2y' + (1 + 8)y = 0$$y'' + 2y' + 9y = 0$

Ответ: $y'' + 2y' + 9y = 0$.