Номер 7, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Составьте соответствующее дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, имеющее общее решение

$y = e^{5x}(C_1 \cos4x + C_2 \sin4x):$

A) $y'' - 10y' + 25y = 0;$

B) $y'' - 10y' + 41y = 0;$

C) $y'' - 10y' + 42y = 0;$

D) $y'' + 10y' + 41y = 0;$

E) $y'' - 10y' + 45y = 0.$

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами вида $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$ соответствует характеристическому уравнению, которое имеет пару комплексно-сопряженных корней $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$.

В представленном общем решении $y = e^{5x}(C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x))$ мы можем определить, что $\alpha = 5$ и $\beta = 4$.

Следовательно, корни соответствующего характеристического уравнения равны:

$k_1 = 5 + 4i$

$k_2 = 5 - 4i$

Теперь мы можем составить характеристическое уравнение, зная его корни. Если корни уравнения $k_1$ и $k_2$, то уравнение можно записать в виде $(k - k_1)(k - k_2) = 0$.

Подставляем наши корни:

$(k - (5 + 4i))(k - (5 - 4i)) = 0$

Для упрощения этого выражения сгруппируем члены и применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = k - 5$ и $b = 4i$:

$((k - 5) - 4i)((k - 5) + 4i) = 0$

$(k - 5)^2 - (4i)^2 = 0$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$k^2 - 10k + 25 - 16i^2 = 0$

Поскольку $i^2 = -1$, уравнение принимает следующий вид:

$k^2 - 10k + 25 - 16(-1) = 0$

$k^2 - 10k + 25 + 16 = 0$

$k^2 - 10k + 41 = 0$

Это и есть характеристическое уравнение. Чтобы получить исходное дифференциальное уравнение, мы производим обратную замену: $k^2$ на $y''$, $k$ на $y'$, а свободный член на коэффициент при $y$.

$y'' - 10y' + 41y = 0$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом B).

Ответ: B) $y'' - 10y' + 41y = 0$