Номер 1, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{2\sqrt{30} + 11} - \frac{1}{2\sqrt{30} - 11};$

2) $(\sqrt{15} + \sqrt{45})^2 - 30\sqrt{3};$

3) $\left(\left(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\right)^{-1} - \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\right)\right) \cdot \left((\sqrt{2})^{-1} - (2\sqrt{2})^{-1}\right)^2;$

4) $5^{\log_2 4 - \lg 20 - \lg 5};$

5) $9^{2 - \log_3 4.5 - \log_3 2} + \log_3 243;$

6) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{2} \cdot \ldots \cdot \sqrt[256]{2};$

7) $\log_9 3 + \frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} - \frac{\log_3 2}{\log_{54} 3};$

8) $\log_6 5 \cdot \log_5 4 \cdot \log_4 3 \cdot \log_3 2 - \log_6 2.$

1)

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(2\sqrt{30} + 11)(2\sqrt{30} - 11)$. Для этого используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{1}{2\sqrt{30} + 11} - \frac{1}{2\sqrt{30} - 11} = \frac{(2\sqrt{30} - 11) - (2\sqrt{30} + 11)}{(2\sqrt{30} + 11)(2\sqrt{30} - 11)} = \frac{2\sqrt{30} - 11 - 2\sqrt{30} - 11}{(2\sqrt{30})^2 - 11^2}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $2\sqrt{30} - 11 - 2\sqrt{30} - 11 = -22$.

Знаменатель: $(2\sqrt{30})^2 - 11^2 = 4 \cdot 30 - 121 = 120 - 121 = -1$.

Тогда значение выражения равно $\frac{-22}{-1} = 22$.

Ответ: 22.

2)

Сначала упростим $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$. Затем раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$(\sqrt{15} + \sqrt{45})^2 - 30\sqrt{3} = (\sqrt{15} + 3\sqrt{5})^2 - 30\sqrt{3}$

Раскрываем квадрат суммы:

$(\sqrt{15})^2 + 2 \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{45} + (\sqrt{45})^2 - 30\sqrt{3} = 15 + 2\sqrt{15 \cdot 45} + 45 - 30\sqrt{3}$

Упростим выражение:

$60 + 2\sqrt{675} - 30\sqrt{3} = 60 + 2\sqrt{225 \cdot 3} - 30\sqrt{3} = 60 + 2 \cdot 15\sqrt{3} - 30\sqrt{3} = 60 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3} = 60$.

Ответ: 60.

3)

Рассмотрим выражение по частям. Сначала упростим первую скобку. Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

$\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)^{-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 1$.

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} - \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2 - (\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(2 - 2\sqrt{2} + 1) - (2 + 2\sqrt{2} + 1)}{1} = (3 - 2\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$.

Теперь упростим вторую скобку:

$((\sqrt{2})^{-1} - (2\sqrt{2})^{-1})^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \left(\frac{2-1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{8}$.

Перемножим результаты:

$(-4\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{8} = -\frac{4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4)

Упростим показатель степени. Используем свойства логарифмов: $\log_a a^b = b$ и $\log_c a + \log_c b = \log_c (ab)$.

Показатель степени: $\log_2 4 - \lg 20 - \lg 5$.

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.

$-\lg 20 - \lg 5 = -(\lg 20 + \lg 5) = -\lg(20 \cdot 5) = -\lg 100 = -\log_{10} 10^2 = -2$.

Таким образом, показатель степени равен $2 - 2 = 0$.

Исходное выражение равно $5^0 = 1$.

Ответ: 1.

5)

Вычислим значение выражения $9^{2 - \log_3 4.5} - \log_{3^2} 2 + \log_3 243$ по частям.

Первый член: $9^{2 - \log_3 4.5} = \frac{9^2}{9^{\log_3 4.5}} = \frac{81}{(3^2)^{\log_3 4.5}} = \frac{81}{3^{2\log_3 4.5}} = \frac{81}{3^{\log_3 (4.5^2)}} = \frac{81}{4.5^2} = \frac{81}{(9/2)^2} = \frac{81}{81/4} = 4$.

Второй член: $-\log_{3^2} 2 = -\log_9 2$.

Третий член: $\log_3 243 = \log_3 (3^5) = 5$.

Сложим полученные значения: $4 - \log_9 2 + 5 = 9 - \log_9 2$.

Ответ: $9 - \log_9 2$.

6)

Представим корни в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{2} \cdot \dots \cdot \sqrt[256]{2} = 2^{1/2} \cdot 2^{1/4} \cdot 2^{1/8} \cdot \dots \cdot 2^{1/256}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{256}}$.

Показатель степени является суммой членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1/2$, знаменатель $q = 1/2$, а количество членов $n=8$ (так как $256=2^8$).

Сумма $S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (1/2)^8}{1 - 1/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1/256}{1/2} = 1 - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}$.

Таким образом, значение выражения равно $2^{255/256}$.

Ответ: $2^{255/256}$.

7)

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифмов $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.

$\log_3 3 + \frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} - \frac{\log_3 2}{\log_{54} 3} = 1 + \log_3 6 \cdot \log_3 18 - \log_3 2 \cdot \log_3 54$.

Разложим числа под логарифмами на множители и воспользуемся свойством $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$\log_3 6 = \log_3(2 \cdot 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 2 + 1$.

$\log_3 18 = \log_3(2 \cdot 9) = \log_3 2 + \log_3 9 = \log_3 2 + 2$.

$\log_3 54 = \log_3(2 \cdot 27) = \log_3 2 + \log_3 27 = \log_3 2 + 3$.

Пусть $x = \log_3 2$. Подставим в выражение:

$1 + (x+1)(x+2) - x(x+3) = 1 + (x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 3x) = 1 + x^2 + 3x + 2 - x^2 - 3x = 3$.

Ответ: 3.

8)

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ для первого члена выражения.

$\log_6 5 \cdot \log_5 4 \cdot \log_4 3 \cdot \log_3 2 = \frac{\ln 5}{\ln 6} \cdot \frac{\ln 4}{\ln 5} \cdot \frac{\ln 3}{\ln 4} \cdot \frac{\ln 2}{\ln 3}$.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{\ln 5}}{\ln 6} \cdot \frac{\cancel{\ln 4}}{\cancel{\ln 5}} \cdot \frac{\cancel{\ln 3}}{\cancel{\ln 4}} \cdot \frac{\ln 2}{\cancel{\ln 3}} = \frac{\ln 2}{\ln 6} = \log_6 2$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\log_6 2 - \log_6 2 = 0$.

Ответ: 0.