Номер 8, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8. Найдите общее решение дифференциального уравнения $y'' - 6y' + 34y = 0:$

A) $y = e^{-2x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x));$

B) $y = e^{3x}(C_1\cos x + C_2\sin x);$

C) $y = e^{3x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x));$

D) $y = e^{-3x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x));$

E) $y = e^{6x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x)).$

Для решения данного линейного однородного дифференциального уравнения $y'' - 6y' + 34y = 0$ необходимо сначала составить и решить его характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение получается заменой $y''$ на $k^2$, $y'$ на $k$, и $y$ на 1:

$k^2 - 6k + 34 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 36 - 136 = -100$

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения являются комплексно-сопряженными. Найдем их по формуле $k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$k_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{-100}}{2} = \frac{6 \pm 10i}{2} = 3 \pm 5i$

Корни характеристического уравнения: $k_1 = 3 + 5i$ и $k_2 = 3 - 5i$.

Для комплексных корней вида $\alpha \pm \beta i$ общее решение дифференциального уравнения имеет форму $y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$.

В нашем случае действительная часть $\alpha = 3$, а мнимая часть $\beta = 5$.

Следовательно, общее решение уравнения: $y = e^{3x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x))$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов.

A) $y = e^{-2x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$

Данное решение соответствует корням характеристического уравнения $k = -2 \pm 5i$, что не совпадает с нашими корнями.

Ответ: Неверно.

B) $y = e^{3x}(C_1\cos x + C_2\sin x)$

Данное решение соответствует корням $k = 3 \pm i$. Мнимая часть $\beta$ равна 1, а не 5.

Ответ: Неверно.

C) $y = e^{3x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$

Это решение полностью соответствует найденным корням $k = 3 \pm 5i$, где $\alpha=3$ и $\beta=5$.

Ответ: $y = e^{3x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$.

D) $y = e^{-3x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$

Данное решение соответствует корням $k = -3 \pm 5i$. Действительная часть $\alpha$ равна -3, а не 3.

Ответ: Неверно.

E) $y = e^{6x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$

Данное решение соответствовало бы корням $k = 6 \pm 5i$, что неверно.

Ответ: Неверно.