Страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Составьте соответствующее дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, имеющее общее решение

$y = e^{5x}(C_1 \cos4x + C_2 \sin4x):$

A) $y'' - 10y' + 25y = 0;$

B) $y'' - 10y' + 41y = 0;$

C) $y'' - 10y' + 42y = 0;$

D) $y'' + 10y' + 41y = 0;$

E) $y'' - 10y' + 45y = 0.$

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами вида $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$ соответствует характеристическому уравнению, которое имеет пару комплексно-сопряженных корней $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$.

В представленном общем решении $y = e^{5x}(C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x))$ мы можем определить, что $\alpha = 5$ и $\beta = 4$.

Следовательно, корни соответствующего характеристического уравнения равны:

$k_1 = 5 + 4i$

$k_2 = 5 - 4i$

Теперь мы можем составить характеристическое уравнение, зная его корни. Если корни уравнения $k_1$ и $k_2$, то уравнение можно записать в виде $(k - k_1)(k - k_2) = 0$.

Подставляем наши корни:

$(k - (5 + 4i))(k - (5 - 4i)) = 0$

Для упрощения этого выражения сгруппируем члены и применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = k - 5$ и $b = 4i$:

$((k - 5) - 4i)((k - 5) + 4i) = 0$

$(k - 5)^2 - (4i)^2 = 0$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$k^2 - 10k + 25 - 16i^2 = 0$

Поскольку $i^2 = -1$, уравнение принимает следующий вид:

$k^2 - 10k + 25 - 16(-1) = 0$

$k^2 - 10k + 25 + 16 = 0$

$k^2 - 10k + 41 = 0$

Это и есть характеристическое уравнение. Чтобы получить исходное дифференциальное уравнение, мы производим обратную замену: $k^2$ на $y''$, $k$ на $y'$, а свободный член на коэффициент при $y$.

$y'' - 10y' + 41y = 0$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом B).

Ответ: B) $y'' - 10y' + 41y = 0$

8. Найдите общее решение дифференциального уравнения $y'' - 6y' + 34y = 0:$

A) $y = e^{-2x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x));$

B) $y = e^{3x}(C_1\cos x + C_2\sin x);$

C) $y = e^{3x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x));$

D) $y = e^{-3x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x));$

E) $y = e^{6x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x)).$

Для решения данного линейного однородного дифференциального уравнения $y'' - 6y' + 34y = 0$ необходимо сначала составить и решить его характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение получается заменой $y''$ на $k^2$, $y'$ на $k$, и $y$ на 1:

$k^2 - 6k + 34 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 36 - 136 = -100$

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения являются комплексно-сопряженными. Найдем их по формуле $k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$k_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{-100}}{2} = \frac{6 \pm 10i}{2} = 3 \pm 5i$

Корни характеристического уравнения: $k_1 = 3 + 5i$ и $k_2 = 3 - 5i$.

Для комплексных корней вида $\alpha \pm \beta i$ общее решение дифференциального уравнения имеет форму $y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$.

В нашем случае действительная часть $\alpha = 3$, а мнимая часть $\beta = 5$.

Следовательно, общее решение уравнения: $y = e^{3x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x))$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов.

A) $y = e^{-2x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$

Данное решение соответствует корням характеристического уравнения $k = -2 \pm 5i$, что не совпадает с нашими корнями.

Ответ: Неверно.

B) $y = e^{3x}(C_1\cos x + C_2\sin x)$

Данное решение соответствует корням $k = 3 \pm i$. Мнимая часть $\beta$ равна 1, а не 5.

Ответ: Неверно.

C) $y = e^{3x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$

Это решение полностью соответствует найденным корням $k = 3 \pm 5i$, где $\alpha=3$ и $\beta=5$.

Ответ: $y = e^{3x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$.

D) $y = e^{-3x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$

Данное решение соответствует корням $k = -3 \pm 5i$. Действительная часть $\alpha$ равна -3, а не 3.

Ответ: Неверно.

E) $y = e^{6x}(C_1\cos5x + C_2\sin5x)$

Данное решение соответствовало бы корням $k = 6 \pm 5i$, что неверно.

Ответ: Неверно.

9. Перед зданием фирмы разбили клумбу прямоугольной формы размерами $8,5 \times 4,5 \text{ м}$. Какое количество кустов роз надо купить для посадки их по периметру клумбы, если расстояние между кустами составляет 50 см:

A) 50;

B) 56;

C) 54;

D) 53;

E) 52?

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие действия: сначала рассчитать периметр прямоугольной клумбы, а затем, зная расстояние между кустами, определить их общее количество.

1. Вычисление периметра клумбы

Клумба имеет форму прямоугольника с длиной $a = 8,5$ м и шириной $b = 4,5$ м. Периметр ($P$) прямоугольника вычисляется по формуле:

$P = 2 \times (a + b)$

Подставим значения сторон в формулу:

$P = 2 \times (8,5 \text{ м} + 4,5 \text{ м}) = 2 \times 13 \text{ м} = 26 \text{ м}$.

Таким образом, периметр клумбы равен 26 метрам.

2. Перевод единиц измерения

Расстояние между кустами указано в сантиметрах, а периметр — в метрах. Для корректного расчета необходимо привести все значения к единой единице измерения. Переведем расстояние между кустами в метры:

$50 \text{ см} = 0,5 \text{ м}$.

3. Расчет количества кустов роз

Чтобы найти необходимое количество кустов ($N$), нужно разделить общую длину периметра на расстояние между кустами. Поскольку посадка производится по замкнутому контуру, количество кустов будет равно количеству интервалов между ними.

$N = \frac{\text{Периметр}}{\text{Расстояние между кустами}}$

$N = \frac{26 \text{ м}}{0,5 \text{ м}} = 52$.

Следовательно, для посадки по всему периметру клумбы потребуется 52 куста роз.

Ответ: 52.

10. На рисунке по определенному закону находятся числа в меньшем круге. Найдите значение X:

Рис. 73

A) 13; B) 10; C) 16; D) 12; E) 14.

Для решения задачи необходимо найти закономерность, связывающую числа во внешнем кольце с числом в центральном круге. Обозначим числа на внешнем кольце в соответствии с их положением: $N_{в}$ – верхнее, $N_{н}$ – нижнее, $N_{л}$ – левое и $N_{п}$ – правое. Число в центре обозначим как $X$.

Проанализируем данные на первых двух рисунках, чтобы определить правило. Рассмотрим гипотезу, по которой число в центре вычисляется как сумма произведений чисел, расположенных по "крестовым" диагоналям: произведение верхнего и левого чисел плюс произведение нижнего и правого чисел.

Запишем эту закономерность в виде формулы:

$X = (N_{в} \times N_{л}) + (N_{н} \times N_{п})$

Теперь проверим эту формулу на предоставленных примерах.

Для первого круга:

Числа: $N_{в} = 7$, $N_{п} = 6$, $N_{н} = 5$, $N_{л} = 4$.

Применяем формулу: $(7 \times 4) + (5 \times 6) = 28 + 30 = 58$.

Полученный результат (58) не совпадает с числом в центре на рисунке (33). Это может указывать на опечатку в условии задачи для первого круга.

Для второго круга:

Числа: $N_{в} = 9$, $N_{п} = 4$, $N_{н} = 3$, $N_{л} = 4$.

Применяем формулу: $(9 \times 4) + (3 \times 4) = 36 + 12 = 48$.

Результат полностью совпадает с числом в центре второго круга, что подтверждает нашу гипотезу.

Для третьего круга:

Поскольку правило подтвердилось на втором примере, применим его для нахождения неизвестного значения X.

Числа: $N_{в} = 5$, $N_{п} = 3$, $N_{н} = 1$, $N_{л} = 2$.

Вычисляем X: $X = (5 \times 2) + (1 \times 3) = 10 + 3 = 13$.

Полученное значение 13 соответствует варианту ответа А.

Ответ: 13

11. Сауле написала подряд все натуральные числа от 1 до 10 000 включительно. Сколько цифр написала Сауле:

A) 39 884; B) 38 894; C) 38 584; D) 38 694; E) 38 889?

Чтобы найти общее количество цифр, необходимо подсчитать, сколько цифр требуется для записи всех чисел в каждом разряде (однозначные, двузначные и т.д.) от 1 до 10 000 включительно, а затем сложить эти значения.

1. Однозначные числа.

Это числа от 1 до 9. Всего таких чисел 9. Каждое состоит из одной цифры.

Количество цифр: $9 \times 1 = 9$.

2. Двузначные числа.

Это числа от 10 до 99. Количество таких чисел: $99 - 10 + 1 = 90$. Каждое состоит из двух цифр.

Количество цифр: $90 \times 2 = 180$.

3. Трехзначные числа.

Это числа от 100 до 999. Количество таких чисел: $999 - 100 + 1 = 900$. Каждое состоит из трех цифр.

Количество цифр: $900 \times 3 = 2700$.

4. Четырехзначные числа.

Это числа от 1000 до 9999. Количество таких чисел: $9999 - 1000 + 1 = 9000$. Каждое состоит из четырех цифр.

Количество цифр: $9000 \times 4 = 36000$.

5. Пятизначное число.

В заданном диапазоне есть только одно пятизначное число — 10 000. Оно состоит из 5 цифр.

Общее количество цифр.

Теперь сложим количество цифр из всех групп:

$9 + 180 + 2700 + 36000 + 5 = 38894$.

Таким образом, Сауле написала 38 894 цифры. Этот результат соответствует варианту B.

Ответ: B) 38 894

12. Из середины книжки выпало несколько листов. Оказалось, что левая страница пронумерована как 62, а правая — как 87. Какой номер последней страницы книги:

A) 144; B) 146; C) 148; D) 152; E) 150?

В книгах левые страницы нумеруются четными числами, а правые — нечетными. Условие задачи это подтверждает: страница 62 — левая (четное число), а страница 87 — правая (нечетное число), которая следует после выпавших листов.

Между страницей 62 и страницей 87 находятся страницы, которые выпали. Это страницы с номера 63 по 86 включительно.

Определим количество выпавших страниц. Для этого от номера последней страницы перед следующим блоком (86) отнимем номер последней страницы перед выпавшим блоком (62):

$86 - 62 = 24$ страницы.

Поскольку на одном листе находятся две страницы, количество выпавших листов составляет:

$24 / 2 = 12$ листов.

Ключевая фраза в условии — "из середины книжки". Это означает, что количество страниц до выпавшего фрагмента равно количеству страниц после него.

Количество страниц до выпавшего фрагмента — это все страницы с 1-й по 62-ю, то есть 62 страницы.

Следовательно, количество страниц после выпавшего фрагмента также должно быть равно 62. Эти страницы начинаются с номера 87 и заканчиваются последней страницей книги.

Пусть $N$ — это номер последней страницы в книге. Тогда количество страниц в этой последней части можно найти по формуле: $N - (\text{номер первой страницы}) + 1$. Подставим наши значения:

$N - 87 + 1$

Приравниваем количество страниц до и после выпавшего блока:

$62 = N - 87 + 1$

Теперь решим это уравнение относительно $N$:

$62 = N - 86$

$N = 62 + 86$

$N = 148$

Итак, последняя страница в книге имеет номер 148. Это соответствует варианту С.

Ответ: 148.

13. Асем и Куаныш ходят в одну и ту же школу. Куаныш живет в двух километрах от школы, а Асем — в 1 км. На каком расстоянии друг от друга живут Асем и Куаныш, если они живут на одной улице:

A) 2 км;

B) 1 км или 3 км;

C) 1 км;

D) 3 км;

E) 4 км?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два возможных варианта расположения домов Асем и Куаныша относительно школы, так как они все находятся на одной улице, которую можно представить в виде прямой линии.

Пусть Ш — это положение школы, А — положение дома Асем, К — положение дома Куаныша.

Дано, что расстояние от школы до дома Куаныша равно $2$ км, а расстояние от школы до дома Асем