Страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

43. Дан график производной функции $y = f'(x)$ (рис. 76).

Рис. 76

Найдите точки максимума и точки минимума функции.

Для нахождения точек максимума и минимума функции $f(x)$, необходимо исследовать график её производной $y=f'(x)$. Точки экстремума (максимумы и минимумы) соответствуют значениям $x$, в которых производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак.

Сначала найдём точки, в которых производная равна нулю. Это абсциссы точек пересечения графика $y=f'(x)$ с осью $Ox$. Судя по графику, это точки $x = -3$, $x = 0$ и $x = 3$.

Теперь определим характер этих точек, проанализировав смену знака производной при переходе через них.

Точки максимума

Точка является точкой максимума, если в ней производная меняет знак с положительного на отрицательный (функция переходит от возрастания к убыванию).

- В точке $x=0$ график производной $f'(x)$ переходит из области положительных значений ($f'(x)>0$ на интервале $(-3, 0)$) в область отрицательных значений ($f'(x)<0$ на интервале $(0, 3)$). Таким образом, знак производной меняется с «+» на «–». Следовательно, $x=0$ — это точка максимума.

Ответ: $x=0$.

Точки минимума

Точка является точкой минимума, если в ней производная меняет знак с отрицательного на положительный (функция переходит от убывания к возрастанию).

- В точке $x=-3$ график производной $f'(x)$ переходит из области отрицательных значений ($f'(x)<0$ слева от -3) в область положительных значений ($f'(x)>0$ на интервале $(-3, 0)$). Таким образом, знак производной меняется с «–» на «+». Следовательно, $x=-3$ — это точка минимума.

- В точке $x=3$ график производной $f'(x)$ переходит из области отрицательных значений ($f'(x)<0$ на интервале $(0, 3)$) в область положительных значений ($f'(x)>0$ справа от 3). Таким образом, знак производной меняется с «–» на «+». Следовательно, $x=3$ — это также точка минимума.

Ответ: $x=-3$ и $x=3$.

44. Материальная точка движется прямолинейно по закону $s = 3t^2 - \frac{3}{2}t$, где $s(t)$ — путь в метрах, $t$ — время в секундах. В какой момент времени из промежутка $[1;5]$ скорость движения точки будет наибольшей и чему равна величина этой скорости?

Закон движения материальной точки задан уравнением $s(t) = 3t^2 - \frac{3}{2}t$, где $s$ — путь в метрах, а $t$ — время в секундах.

Скорость движения точки $v(t)$ является первой производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. Найдем функцию скорости:

$v(t) = s'(t) = (3t^2 - \frac{3}{2}t)' = 2 \cdot 3t^{(2-1)} - \frac{3}{2}t^{(1-1)} = 6t - \frac{3}{2}$.

Теперь необходимо найти наибольшее значение скорости $v(t)$ на временном промежутке $[1; 5]$. Для этого исследуем поведение функции $v(t) = 6t - \frac{3}{2}$ на данном отрезке.

Найдем производную функции скорости, чтобы определить ее интервалы монотонности:

$v'(t) = (6t - \frac{3}{2})' = 6$.

Поскольку производная $v'(t) = 6$ положительна при любом значении $t$, функция скорости $v(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения, включая и отрезок $[1; 5]$.

Для возрастающей функции наибольшее значение на отрезке достигается в его правом конце. В нашем случае правая граница отрезка — это $t=5$ с.

Вычислим значение скорости в этот момент времени, чтобы найти ее наибольшую величину:

$v_{наиб} = v(5) = 6 \cdot 5 - \frac{3}{2} = 30 - 1.5 = 28.5$ м/с.

Ответ: наибольшая скорость движения точки на промежутке $[1; 5]$ достигается в момент времени $t = 5$ с и равна $28.5$ м/с.

45. 1) Проволоку длиной 120 см требуется согнуть в прямоугольник так, чтобы площадь этого прямоугольника была максимальной. Найдите длины сторон этого прямоугольника.

2) Найдите длины сторон прямоугольника периметра $a$, имеющего наибольшую площадь.

1)

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $x$ и $y$ сантиметров. Длина проволоки, равная 120 см, представляет собой периметр этого прямоугольника.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. По условию задачи, $P = 120$ см. Следовательно, мы имеем уравнение: $2(x + y) = 120$, что можно упростить до $x + y = 60$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Нам необходимо найти такое значение $x$ и $y$, при котором площадь $S$ будет максимальной. Из уравнения $x + y = 60$ выразим одну из переменных, например, $y$: $y = 60 - x$.

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $x$: $S(x) = x(60 - x) = 60x - x^2$.

Функция $S(x) = -x^2 + 60x$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае $a = -1$ и $b = 60$. $x_0 = -60 / (2 \cdot (-1)) = -60 / (-2) = 30$.

Таким образом, одна из сторон прямоугольника, при которой площадь максимальна, равна 30 см. Найдем длину второй стороны: $y = 60 - x = 60 - 30 = 30$ см.

Получается, что для максимальной площади прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: длины сторон этого прямоугольника равны 30 см и 30 см.

2)

Рассмотрим общий случай. Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$, а его периметр равен $a$. $P = 2(x + y) = a$. Отсюда $x + y = a/2$.

Площадь прямоугольника $S = x \cdot y$. Выразим $y$ через $x$ из соотношения для периметра: $y = a/2 - x$. Подставим это в формулу для площади: $S(x) = x(a/2 - x) = (a/2)x - x^2$.

Мы снова получили квадратичную функцию $S(x) = -x^2 + (a/2)x$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум площади будет в вершине параболы. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -b / (2a_{quad}) = -(a/2) / (2 \cdot (-1)) = -(a/2) / (-2) = a/4$.

Итак, длина одной стороны равна $a/4$. Найдем длину второй стороны: $y = a/2 - x = a/2 - a/4 = 2a/4 - a/4 = a/4$.

Таким образом, прямоугольник с заданным периметром $a$ и наибольшей площадью является квадратом со стороной, равной $a/4$.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны $a/4$ и $a/4$.

46. 1) Разложите число 12 на два положительных слагаемых, чтобы сумма квадратов этих слагаемых была наименьшей.

2) Разложите число 18 на два положительных слагаемых, чтобы значение их произведения было наибольшим.

3) Число 16 представьте в виде произведения двух положительных чисел, сумма квадратов которых будет наименьшей.

1) Пусть искомые положительные слагаемые равны $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 12, то есть $x + y = 12$. Нам нужно найти наименьшее значение суммы их квадратов, которую обозначим как $S$.

$S = x^2 + y^2$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 12 - x$. Подставим это выражение в формулу для $S$:

$S(x) = x^2 + (12 - x)^2 = x^2 + 144 - 24x + x^2 = 2x^2 - 24x + 144$.

Получилась квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Наименьшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=2$ и $b=-24$, тогда:

$x_0 = -\frac{-24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$.

Таким образом, первое слагаемое $x = 6$.

Найдем второе слагаемое: $y = 12 - x = 12 - 6 = 6$.

Оба слагаемых положительны.

Ответ: 6 и 6.

2) Пусть искомые положительные слагаемые равны $x$ и $y$. По условию, $x + y = 18$. Нам нужно найти наибольшее значение их произведения, которое обозначим как $P$.

$P = x \cdot y$.

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 18 - x$. Подставим это в формулу для $P$:

$P(x) = x(18 - x) = 18x - x^2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Наибольшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата $x$ вершины находится по той же формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В данном случае $a=-1$ и $b=18$:

$x_0 = -\frac{18}{2 \cdot (-1)} = -\frac{18}{-2} = 9$.

Значит, первое слагаемое $x = 9$.

Тогда второе слагаемое: $y = 18 - x = 18 - 9 = 9$.

Оба слагаемых положительны.

Ответ: 9 и 9.

3) Пусть искомые положительные числа равны $x$ и $y$. По условию, их произведение равно 16, то есть $x \cdot y = 16$. Сумма их квадратов, которую нужно минимизировать, равна $S = x^2 + y^2$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{16}{x}$ (поскольку $x$ - положительное число, деление на ноль невозможно).

Подставим это выражение в формулу для $S$:

$S(x) = x^2 + (\frac{16}{x})^2 = x^2 + \frac{256}{x^2}$.

Чтобы найти наименьшее значение функции, найдем ее производную и приравняем к нулю.

$S'(x) = (x^2 + 256x^{-2})' = 2x - 2 \cdot 256x^{-3} = 2x - \frac{512}{x^3}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$2x - \frac{512}{x^3} = 0$

$2x = \frac{512}{x^3}$

$2x^4 = 512$

$x^4 = 256$

Так как $x$ — положительное число, то $x = \sqrt[4]{256} = 4$.

Это точка минимума, так как вторая производная $S''(x) = 2 + \frac{1536}{x^4}$ всегда положительна при $x>0$.

Найдем второе число: $y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4$.

Ответ: 4 и 4.

47. 1) Точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^2 + 2t + 5$, $t$ – время. Найдите скорость движения точки в конце пятой секунды.

2) Материальная точка движется по закону $x(t) = 5t + 6t^2 - t^3$. Найдите ускорение точки в момент $t = 2$ с.

1) Уравнение движения точки задано функцией $x(t) = t^2 + 2t + 5$, где $x$ — координата, а $t$ — время. Скорость точки является первой производной от координаты по времени. Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, нужно найти производную от функции $x(t)$ по времени $t$.

Найдем производную:$v(t) = x'(t) = (t^2 + 2t + 5)' = 2t^{2-1} + 2 \cdot 1 \cdot t^{1-1} + 0 = 2t + 2$.

Теперь найдем скорость движения точки в конце пятой секунды, то есть при $t = 5$. Для этого подставим значение $t = 5$ в найденную функцию скорости:

$v(5) = 2 \cdot 5 + 2 = 10 + 2 = 12$.

Скорость измеряется в единицах расстояния на единицу времени (например, м/с). Так как единицы в задаче не указаны, приводим числовой ответ.

Ответ: 12.

2) Уравнение движения материальной точки задано функцией $x(t) = 5t + 6t^2 - t^3$. Ускорение точки является второй производной от координаты по времени ($a(t) = x''(t)$) или, что то же самое, первой производной от скорости по времени ($a(t) = v'(t)$).

Сначала найдем функцию скорости $v(t)$, взяв первую производную от $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (5t + 6t^2 - t^3)' = 5 + 6 \cdot 2t - 3t^2 = 5 + 12t - 3t^2$.

Теперь найдем функцию ускорения $a(t)$, взяв производную от функции скорости $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (5 + 12t - 3t^2)' = 0 + 12 - 3 \cdot 2t = 12 - 6t$.

Чтобы найти ускорение точки в момент времени $t = 2$ с, подставим это значение в функцию ускорения:

$a(2) = 12 - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0$.

Ускорение измеряется в единицах расстояния на единицу времени в квадрате (например, м/с²).

Ответ: 0.

48. Участок площадью в $800 \text{ м}^2$ имеет форму прямоугольника. Участок огорожен изгородью с трех сторон. Найдите наименьшую длину изгороди.

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$.

Площадь участка $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, площадь равна $800 \text{ м}^2$, следовательно, мы имеем уравнение:$a \cdot b = 800$.

Участок огорожен изгородью с трех сторон. Это означает, что одна из сторон не огорожена. Возможны два случая:

1. Огорожены две стороны длиной $a$ и одна сторона длиной $b$. Длина изгороди $L$ в этом случае будет $L = 2a + b$.

2. Огорожены две стороны длиной $b$ и одна сторона длиной $a$. Длина изгороди $L$ будет $L = a + 2b$.

Оба случая симметричны, и решение для одного из них даст искомый минимальный результат. Рассмотрим первый случай, где длина изгороди $L = 2a + b$. Нам нужно найти наименьшее (минимальное) значение этой длины.

Из уравнения площади выразим одну переменную через другую, например, $b$ через $a$:$b = \frac{800}{a}$.

Подставим это выражение в формулу для длины изгороди, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $a$:$L(a) = 2a + \frac{800}{a}$.

Чтобы найти минимальное значение функции $L(a)$, нужно найти её производную по $a$ и приравнять к нулю.

Находим производную:$L'(a) = \left(2a + \frac{800}{a}\right)' = (2a)' + (800a^{-1})' = 2 - 800a^{-2} = 2 - \frac{800}{a^2}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек, в которых функция может иметь минимум или максимум:$L'(a) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{800}{a^2} = 0$.

Решим полученное уравнение относительно $a$:$2 = \frac{800}{a^2}$$2a^2 = 800$$a^2 = 400$$a = \sqrt{400} = 20$.

Мы берем только положительное значение корня, так как длина стороны не может быть отрицательной. Итак, одна из сторон равна $a = 20$ м.

Чтобы убедиться, что при этом значении $a$ достигается именно минимум, а не максимум, можно использовать вторую производную:$L''(a) = \left(2 - 800a^{-2}\right)' = -(-2) \cdot 800a^{-3} = \frac{1600}{a^3}$.При $a=20$, $L''(20) = \frac{1600}{20^3} > 0$, что подтверждает, что при $a=20$ м функция $L(a)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем длину второй стороны $b$:$b = \frac{800}{a} = \frac{800}{20} = 40$ м.

Таким образом, для минимизации длины изгороди стороны участка должны быть 20 м и 40 м. Изгородь будет состоять из двух сторон по 20 м и одной стороны в 40 м. Вычислим эту наименьшую длину:$L_{min} = 2a + b = 2 \cdot 20 + 40 = 40 + 40 = 80$ м.

Если бы мы изначально выбрали второй случай ($L = a + 2b$), то получили бы $a=40$ м и $b=20$ м, а длина изгороди была бы такой же: $L = 40 + 2 \cdot 20 = 80$ м.

Ответ: 80 м.