Страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

57. Выполните действия над комплексными числами:

1) $(2 + 3i)(3 - i);$

2) $(1 - 3i)(3 - 2i);$

3) $(1 - 2i)^2;$

4) $(2 - i)^2 + 5i.$

1) Для выполнения умножения комплексных чисел $(2 + 3i)(3 - i)$ раскроем скобки, как при умножении многочленов, и учтем, что $i^2 = -1$.

$(2 + 3i)(3 - i) = 2 \cdot 3 - 2 \cdot i + 3i \cdot 3 - 3i \cdot i = 6 - 2i + 9i - 3i^2$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(6 - 3i^2) + (-2i + 9i) = (6 - 3(-1)) + 7i = (6 + 3) + 7i = 9 + 7i$.

Ответ: $9 + 7i$

2) Аналогично выполним умножение для $(1 - 3i)(3 - 2i)$.

$(1 - 3i)(3 - 2i) = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2i - 3i \cdot 3 + 3i \cdot 2i = 3 - 2i - 9i + 6i^2$

Сгруппируем действительные и мнимые части и подставим $i^2 = -1$:

$(3 + 6i^2) + (-2i - 9i) = (3 + 6(-1)) - 11i = (3 - 6) - 11i = -3 - 11i$.

Ответ: $-3 - 11i$

3) Для возведения в квадрат $(1 - 2i)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(1 - 2i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2i) + (2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2$

Подставим $i^2 = -1$:

$1 - 4i + 4(-1) = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$.

Ответ: $-3 - 4i$

4) Сначала возведем в квадрат выражение $(2 - i)^2$, а затем прибавим $5i$.

Используем формулу квадрата разности:

$(2 - i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 - 4i + i^2$

Подставим $i^2 = -1$:

$4 - 4i - 1 = 3 - 4i$.

Теперь прибавим $5i$ к полученному результату:

$(3 - 4i) + 5i = 3 + (-4 + 5)i = 3 + 1i = 3 + i$.

Ответ: $3 + i$

58. При каких действительных значениях x и y комплексные числа будут сопряженными:

1) $5 - yi$ и $x + 2i$;

2) $3 + 2yi$ и $2x + 4i$?

Два комплексных числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ (где $a, b, c, d$ – действительные числа) являются комплексно-сопряженными, если их действительные части равны ($a=c$), а мнимые части противоположны по знаку ($b=-d$).

1) Даны комплексные числа $5 - yi$ и $x + 2i$.

Обозначим $z_1 = 5 - yi$ и $z_2 = x + 2i$.

Действительная часть первого числа $Re(z_1) = 5$, мнимая часть $Im(z_1) = -y$.

Действительная часть второго числа $Re(z_2) = x$, мнимая часть $Im(z_2) = 2$.

Для того чтобы числа были сопряженными, должны выполняться следующие условия:

1. Равенство действительных частей: $Re(z_1) = Re(z_2)$.

$5 = x$.

2. Противоположность мнимых частей: $Im(z_1) = -Im(z_2)$.

$-y = -2$, откуда $y = 2$.

Следовательно, при $x=5$ и $y=2$ числа $5-2i$ и $5+2i$ являются сопряженными.

Ответ: $x = 5$, $y = 2$.

2) Даны комплексные числа $3 + 2yi$ и $2x + 4i$.

Обозначим $z_1 = 3 + 2yi$ и $z_2 = 2x + 4i$.

Действительная часть первого числа $Re(z_1) = 3$, мнимая часть $Im(z_1) = 2y$.

Действительная часть второго числа $Re(z_2) = 2x$, мнимая часть $Im(z_2) = 4$.

Применяем условия сопряженности:

1. Равенство действительных частей: $Re(z_1) = Re(z_2)$.

$3 = 2x$, откуда $x = \frac{3}{2}$.

2. Противоположность мнимых частей: $Im(z_1) = -Im(z_2)$.

$2y = -4$, откуда $y = -2$.

Следовательно, при $x = \frac{3}{2}$ и $y = -2$ числа $3+2(-2)i = 3-4i$ и $2(\frac{3}{2}) + 4i = 3+4i$ являются сопряженными.

Ответ: $x = \frac{3}{2}$, $y = -2$.

59. Разложите на множители выражение:

1) $25 + 9x^2;$

2) $4x^2 + 16y^2;$

3) $x^2 - 4x + 5;$

4) $x^2 - 6x + 25.$

1) Для разложения выражения $25 + 9x^2$ на множители, представим его в виде суммы квадратов. Заметим, что $25 = 5^2$ и $9x^2 = (3x)^2$. Таким образом, выражение имеет вид $5^2 + (3x)^2$.

Сумма квадратов $a^2 + b^2$ не раскладывается на множители в поле действительных чисел. Однако её можно разложить, используя комплексные числа. Вспомним, что мнимая единица $i$ определяется как $i^2 = -1$.

Тогда $a^2 + b^2 = a^2 - (-1)b^2 = a^2 - i^2 b^2 = a^2 - (ib)^2$.

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов: $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$.

В нашем случае $a=5$ и $b=3x$, поэтому $a^2 + b^2$ превращается в $5^2 - (i \cdot 3x)^2 = 5^2 - (3ix)^2$.

Получаем: $(5 - 3ix)(5 + 3ix)$.

Ответ: $(5 - 3ix)(5 + 3ix)$

2) Рассмотрим выражение $4x^2 + 16y^2$. Сначала вынесем за скобки общий множитель $4$:

$4x^2 + 16y^2 = 4(x^2 + 4y^2)$.

Выражение в скобках $x^2 + 4y^2$ является суммой квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $4y^2 = (2y)^2$. Таким образом, $x^2 + (2y)^2$.

Как и в предыдущем задании, разложим на множители с помощью комплексных чисел. Используем тот же подход: $a^2+b^2 = a^2 - (ib)^2 = (a-ib)(a+ib)$.

Здесь $a=x$ и $b=2y$.

$x^2 + 4y^2 = x^2 + (2y)^2 = x^2 - (i \cdot 2y)^2 = (x - 2iy)(x + 2iy)$.

Не забывая про вынесенный множитель $4$, получаем окончательный результат.

Ответ: $4(x - 2iy)(x + 2iy)$

3) Для разложения на множители квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 5$ воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Чтобы для двучлена $x^2 - 4x$ получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4$.

Представим исходное выражение следующим образом: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5$.

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат: $(x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$.

Мы получили сумму квадратов. Снова применим разложение через комплексные числа, зная, что $1 = -(-1) = -i^2$.

$(x-2)^2 + 1 = (x-2)^2 - i^2$.

Теперь используем формулу разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$, где $a = x-2$ и $c=i$.

$((x-2) - i)((x-2) + i) = (x-2-i)(x-2+i)$.

Ответ: $(x-2-i)(x-2+i)$

4) Разложим на множители выражение $x^2 - 6x + 25$. Используем метод выделения полного квадрата, аналогично предыдущему пункту.

Для $x^2 - 6x$ не хватает слагаемого $(\frac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$ для получения полного квадрата.

Добавим и вычтем $9$: $x^2 - 6x + 25 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 25$.

Группируем слагаемые: $(x^2 - 6x + 9) + 16 = (x-3)^2 + 16$.

Мы снова получили сумму квадратов: $(x-3)^2 + 4^2$.

Используя комплексные числа, запишем $16 = -(-16) = -(4i)^2$.

$(x-3)^2 + 16 = (x-3)^2 - (4i)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = x-3$ и $c = 4i$.

$((x-3) - 4i)((x-3) + 4i) = (x-3-4i)(x-3+4i)$.

Ответ: $(x-3-4i)(x-3+4i)$

60. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из корней которого является число:

1) $2i$;

2) $2 - i$;

3) $3 - 2i$;

4) $-2 + 4i$.

Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами вида $ax^2 + bx + c = 0$ справедливо следующее свойство: если один из корней является комплексным числом $z = u + vi$, то второй корень обязательно будет его комплексно-сопряженным числом $\bar{z} = u - vi$.

Зная оба корня $z_1$ и $z_2$, можно составить приведенное квадратное уравнение (т.е. с коэффициентом при $x^2$ равным 1) по теореме Виета: $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1 \cdot z_2 = 0$.

1)

Дан один корень $z_1 = 2i$. Так как коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным к $z_1$.

$z_2 = \overline{2i} = -2i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = z_1 + z_2 = 2i + (-2i) = 0$.

Произведение корней: $P = z_1 \cdot z_2 = (2i) \cdot (-2i) = -4i^2 = -4(-1) = 4$.

Подставим найденные значения суммы $S$ и произведения $P$ в формулу $x^2 - S \cdot x + P = 0$:

$x^2 - 0 \cdot x + 4 = 0$

$x^2 + 4 = 0$.

Ответ: $x^2 + 4 = 0$.

2)

Дан один корень $z_1 = 2 - i$. Второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным.

$z_2 = \overline{2 - i} = 2 + i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = z_1 + z_2 = (2 - i) + (2 + i) = 4$.

Произведение корней: $P = z_1 \cdot z_2 = (2 - i)(2 + i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$.

Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - 4x + 5 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x + 5 = 0$.

3)

Дан один корень $z_1 = 3 - 2i$. Второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным.

$z_2 = \overline{3 - 2i} = 3 + 2i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = z_1 + z_2 = (3 - 2i) + (3 + 2i) = 6$.

Произведение корней: $P = z_1 \cdot z_2 = (3 - 2i)(3 + 2i) = 3^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2 = 9 - 4(-1) = 9 + 4 = 13$.

Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - 6x + 13 = 0$.

Ответ: $x^2 - 6x + 13 = 0$.

4)

Дан один корень $z_1 = -2 + 4i$. Второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным.

$z_2 = \overline{-2 + 4i} = -2 - 4i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = z_1 + z_2 = (-2 + 4i) + (-2 - 4i) = -4$.

Произведение корней: $P = z_1 \cdot z_2 = (-2 + 4i)(-2 - 4i) = (-2)^2 - (4i)^2 = 4 - 16i^2 = 4 - 16(-1) = 4 + 16 = 20$.

Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (-4)x + 20 = 0$

$x^2 + 4x + 20 = 0$.

Ответ: $x^2 + 4x + 20 = 0$.

61. 1) Сколько чисел, меньших 10 000, можно составить из цифр 2, 6, 7? Сколько из них нечетных?

2) Сколько чисел, меньших 10 000, можно составить из цифр 4, 5, 9? Сколько из них четных?

1)

Для составления чисел, меньших 10 000, из цифр 2, 6, 7, мы можем формировать числа, состоящие из одной, двух, трех или четырех цифр. Поскольку в условии не указано, что цифры не могут повторяться, будем считать, что повторения разрешены.

В нашем распоряжении 3 цифры: {2, 6, 7}.

Рассчитаем количество возможных чисел для каждой разрядности:

• Однозначные числа: можно составить 3 числа (2, 6, 7).
• Двузначные числа: для каждой из двух позиций (разряд десятков и разряд единиц) есть 3 варианта выбора цифры. Всего можно составить $3 \times 3 = 3^2 = 9$ чисел.
• Трехзначные числа: для каждой из трех позиций есть 3 варианта выбора. Всего можно составить $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ чисел.
• Четырехзначные числа: для каждой из четырех позиций есть 3 варианта выбора. Всего можно составить $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ число.

Общее количество чисел, которые можно составить, равно сумме чисел всех разрядностей: $N_{общ} = 3 + 9 + 27 + 81 = 120$.

Теперь определим, сколько из этих чисел являются нечетными. Число является нечетным, если его последняя цифра — нечетная. В наборе {2, 6, 7} нечетной является только цифра 7.

• Нечетные однозначные числа: только число 7. Всего 1 число.
• Нечетные двузначные числа: последняя цифра должна быть 7 (1 вариант), а первая может быть любой из трех. Всего $3 \times 1 = 3$ числа.
• Нечетные трехзначные числа: последняя цифра — 7 (1 вариант), а первые две — любые из трех. Всего $3 \times 3 \times 1 = 9$ чисел.
• Нечетные четырехзначные числа: последняя цифра — 7 (1 вариант), а первые три — любые из трех. Всего $3 \times 3 \times 3 \times 1 = 27$ чисел.

Общее количество нечетных чисел: $N_{нечет} = 1 + 3 + 9 + 27 = 40$.

Ответ: можно составить 120 чисел, из них 40 нечетных.

2)

Для составления чисел, меньших 10 000, из цифр 4, 5, 9, мы также можем формировать числа, состоящие из одной, двух, трех или четырех цифр, с повторением цифр.

В нашем распоряжении 3 цифры: {4, 5, 9}.

Расчет общего количества чисел аналогичен первому пункту, так как количество доступных цифр также равно трем.

• Однозначные числа: 3.
• Двузначные числа: $3^2 = 9$.
• Трехзначные числа: $3^3 = 27$.
• Четырехзначные числа: $3^4 = 81$.

Общее количество чисел: $N_{общ} = 3 + 9 + 27 + 81 = 120$.

Теперь определим, сколько из этих чисел являются четными. Число является четным, если его последняя цифра — четная. В наборе {4, 5, 9} четной является только цифра 4.

• Четные однозначные числа: только число 4. Всего 1 число.
• Четные двузначные числа: последняя цифра должна быть 4 (1 вариант), а первая может быть любой из трех. Всего $3 \times 1 = 3$ числа.
• Четные трехзначные числа: последняя цифра — 4 (1 вариант), а первые две — любые из трех. Всего $3 \times 3 \times 1 = 9$ чисел.
• Четные четырехзначные числа: последняя цифра — 4 (1 вариант), а первые три — любые из трех. Всего $3 \times 3 \times 3 \times 1 = 27$ чисел.

Общее количество четных чисел: $N_{чет} = 1 + 3 + 9 + 27 = 40$.

Ответ: можно составить 120 чисел, из них 40 четных.

62. 1) Найдите значение суммы четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 3, 5, 5, 7.

2) Найдите значение суммы четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 3, 3, 4, 8.

1)

Для нахождения суммы всех четырехзначных чисел, полученных при перестановках цифр 3, 5, 5, 7, мы можем использовать комбинаторный подход, чтобы не выписывать все числа и не складывать их вручную.

Сначала определим, сколько всего уникальных четырехзначных чисел можно составить из этих цифр. У нас есть 4 цифры, среди которых цифра 5 повторяется дважды. Количество перестановок с повторениями вычисляется по формуле: $N = \frac{n!}{n_1!n_2!...}$, где $n$ — общее количество элементов, а $n_1, n_2, ...$ — количество повторений каждого элемента. В нашем случае $n=4$, и есть одна повторяющаяся цифра 5 (2 раза), поэтому $n_1=2$.

Количество уникальных чисел: $N = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.

Теперь рассмотрим, сколько раз каждая из цифр (3, 5, 7) будет стоять на каждой из позиций (тысяч, сотен, десятков, единиц). Из-за симметрии количество раз будет одинаковым для каждой позиции.

• Сколько раз цифра 3 окажется на какой-либо позиции (например, тысяч)? Если мы зафиксируем цифру 3 на одном месте, то для остальных трех мест нам нужно будет расположить цифры {5, 5, 7}. Количество перестановок для этого набора равно $\frac{3!}{2!} = 3$. Таким образом, цифра 3 будет стоять на каждой из позиций 3 раза.

• Сколько раз цифра 7 окажется на какой-либо позиции? Аналогично, зафиксировав 7, мы переставляем {3, 5, 5}. Количество перестановок также равно $\frac{3!}{2!} = 3$. Значит, цифра 7 будет стоять на каждой из позиций 3 раза.

• Сколько раз цифра 5 окажется на какой-либо позиции? Зафиксировав одну из цифр 5, мы переставляем {3, 5, 7}. Количество перестановок для этого набора равно $3! = 6$. Значит, цифра 5 будет стоять на каждой из позиций 6 раз.

Теперь найдем сумму цифр в каждом разряде (например, в разряде единиц). Она будет одинаковой для всех разрядов.

Сумма в разряде единиц = (цифра 3 × ее частота) + (цифра 7 × ее частота) + (цифра 5 × ее частота) = $(3 \times 3) + (7 \times 3) + (5 \times 6) = 9 + 21 + 30 = 60$.

Эта сумма (60) будет одинаковой для разряда единиц, десятков, сотен и тысяч.

Чтобы найти общую сумму всех чисел, нужно сложить суммы по разрядам с учетом их веса:

Общая сумма = $60 \times 1000$ (сумма в разряде тысяч) + $60 \times 100$ (сумма в разряде сотен) + $60 \times 10$ (сумма в разряде десятков) + $60 \times 1$ (сумма в разряде единиц).

Общая сумма = $60 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 \times 1111 = 66660$.

Ответ: 66660

2)

Решим эту задачу аналогичным образом для набора цифр 3, 3, 4, 8.

Сначала определим количество уникальных четырехзначных чисел. У нас 4 цифры, из которых цифра 3 повторяется дважды.Количество уникальных чисел: $N = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.

Теперь определим частоту появления каждой цифры (3, 4, 8) в каждом разряде.

• Сколько раз цифра 4 окажется на какой-либо позиции? Если зафиксировать 4, то для остальных трех мест нужно расположить цифры {3, 3, 8}. Количество перестановок: $\frac{3!}{2!} = 3$. Цифра 4 будет стоять на каждой позиции 3 раза.

• Сколько раз цифра 8 окажется на какой-либо позиции? Аналогично, фиксируем 8 и переставляем {3, 3, 4}. Количество перестановок: $\frac{3!}{2!} = 3$. Цифра 8 будет стоять на каждой позиции 3 раза.

• Сколько раз цифра 3 окажется на какой-либо позиции? Фиксируем одну из цифр 3 и переставляем {3, 4, 8}. Количество перестановок: $3! = 6$. Цифра 3 будет стоять на каждой позиции 6 раз.

Теперь найдем сумму цифр в каждом разряде.

Сумма в разряде единиц = (цифра 4 × ее частота) + (цифра 8 × ее частота) + (цифра 3 × ее частота) = $(4 \times 3) + (8 \times 3) + (3 \times 6) = 12 + 24 + 18 = 54$.

Сумма для каждого разряда (единиц, десятков, сотен, тысяч) равна 54.

Вычислим общую сумму всех чисел:

Общая сумма = $54 \times 1000 + 54 \times 100 + 54 \times 10 + 54 \times 1 = 54 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 54 \times 1111 = 59994$.

Ответ: 59994

63. В партии из 20 изделий имеются четыре изделия с дефектами. Для проверки их качества случайно выбирают три изделия. Составьте ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в этой выборке.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу дефектных изделий в выборке. Всего в партии 20 изделий, из них 4 дефектных и $20-4=16$ стандартных. Из партии случайным образом отбирают 3 изделия. Следовательно, случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Вероятности возможных значений $X$ находятся с помощью формулы для гипергеометрического распределения: $P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$, где $N=20$ — общий размер партии, $K=4$ — число дефектных изделий в партии, $n=3$ — размер выборки, $k$ — число дефектных изделий в выборке.

Общее число способов выбрать 3 изделия из 20 составляет:

$n_{общ} = C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $k$.

При $k=0$ (в выборке нет дефектных изделий, все 3 стандартные):

$P(X=0) = \frac{C_4^0 \cdot C_{16}^3}{C_{20}^3} = \frac{1 \cdot \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{1140} = \frac{1 \cdot 560}{1140} = \frac{560}{1140} = \frac{28}{57}$.

При $k=1$ (в выборке одно дефектное изделие и два стандартных):

$P(X=1) = \frac{C_4^1 \cdot C_{16}^2}{C_{20}^3} = \frac{4 \cdot \frac{16 \cdot 15}{2}}{1140} = \frac{4 \cdot 120}{1140} = \frac{480}{1140} = \frac{8}{19}$.

При $k=2$ (в выборке два дефектных изделия и одно стандартное):

$P(X=2) = \frac{C_4^2 \cdot C_{16}^1}{C_{20}^3} = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 16}{1140} = \frac{6 \cdot 16}{1140} = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95}$.

При $k=3$ (в выборке три дефектных изделия):

$P(X=3) = \frac{C_4^3 \cdot C_{16}^0}{C_{20}^3} = \frac{4 \cdot 1}{1140} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285}$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$\frac{28}{57} + \frac{8}{19} + \frac{8}{95} + \frac{1}{285} = \frac{140}{285} + \frac{120}{285} + \frac{24}{285} + \frac{1}{285} = \frac{140+120+24+1}{285} = \frac{285}{285} = 1$.

Расчеты верны.

Ответ:

64. 1) Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды?

2) Сколько можно составить четырехзначных чисел из цифр 0, 2, 3, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды?

3) Из 100 подарочных наборов в 50 находятся конфеты, в 45 — яблоки, в 35 — мандарины, в 20 — конфеты, яблоки и мандарины, в 25 — конфеты и яблоки, в 15 — яблоки и мандарины. Найдите число наборов с конфетами и мандаринами.

1) Для составления трехзначного числа из цифр 2, 3, 4 без повторений нужно разместить 3 различные цифры на 3 позициях. Это задача на перестановки.

На первую позицию (сотни) можно выбрать любую из 3 цифр.

На вторую позицию (десятки) можно выбрать любую из 2 оставшихся цифр.

На третью позицию (единицы) остается только 1 цифра.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $3 \times 2 \times 1 = 6$.

Это соответствует формуле числа перестановок из n элементов: $P_n = n!$. В данном случае $P_3 = 3! = 6$.

Ответ: 6.

2) Мы составляем четырехзначные числа из цифр 0, 2, 3, 5 без повторений. Важным условием является то, что четырехзначное число не может начинаться с цифры 0.

На первую позицию (тысячи) можно поставить любую из 3-х цифр (2, 3, или 5).

После выбора первой цифры, на вторую позицию (сотни) можно выбрать любую из 3-х оставшихся цифр (включая 0).

На третью позицию (десятки) можно выбрать любую из 2-х оставшихся цифр.

На четвертую позицию (единицы) останется последняя, 1 цифра.

Общее количество возможных чисел равно: $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.

Альтернативный способ: общее число перестановок из 4 цифр равно $P_4 = 4! = 24$. Из них нужно вычесть те комбинации, которые начинаются с 0, так как они не являются четырехзначными числами. Число таких комбинаций равно числу перестановок оставшихся 3-х цифр (2, 3, 5), то есть $P_3 = 3! = 6$. Итого: $24 - 6 = 18$.

Ответ: 18.

3) Для решения задачи используем теорию множеств. Обозначим:

К – множество наборов с конфетами, $|К| = 50$.

Я – множество наборов с яблоками, $|Я| = 45$.

М – множество наборов с мандаринами, $|М| = 35$.

Даны мощности пересечений множеств:

$|К \cap Я| = 25$ (наборы с конфетами и яблоками).

$|Я \cap М| = 15$ (наборы с яблоками и мандаринами).

$|К \cap Я \cap М| = 20$ (наборы с конфетами, яблоками и мандаринами).

Требуется найти $|К \cap М|$.

По определению, множество наборов, содержащих все три элемента ($К \cap Я \cap М$), является подмножеством множества наборов, содержащих любые два из этих элементов (например, $Я \cap М$). Это означает, что количество элементов в первом множестве не может быть больше, чем во втором. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$|К \cap Я \cap М| \le |Я \cap М|$.

Подставив значения из условия, получаем: $20 \le 15$.

Это неравенство неверно. Число наборов, содержащих все три вида продуктов, не может быть больше числа наборов, содержащих яблоки и мандарины. Таким образом, исходные данные задачи противоречивы.

Ответ: Задача содержит противоречивые данные и не может быть решена.

65. Решите уравнение:

1) $C_{2n+1}^{n-1} : C_{2n}^{n+1} = 1\frac{2}{3};$

2) $A_{2x}^{x-1} : A_{2x}^{x+1} = \frac{1}{30};$

3) $C_n^8 : A_n^2 = 2.$

1) Дано уравнение $C_{2n+1}^{n-1} : C_{2n}^{n+1} = 1\frac{2}{3}$.

Преобразуем правую часть смешанной дроби в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $n$. Для существования числа сочетаний $C_m^k$ необходимо, чтобы $m, k$ были целыми неотрицательными числами и выполнялось условие $m \ge k$.

Для $C_{2n+1}^{n-1}$: требуется $2n+1 \ge n-1$, что дает $n \ge -2$, и $n-1 \ge 0$, что дает $n \ge 1$.

Для $C_{2n}^{n+1}$: требуется $2n \ge n+1$, что дает $n \ge 1$, и $n+1 \ge 0$, что дает $n \ge -1$.

Объединяя все условия, получаем, что $n$ должно быть натуральным числом, и $n \ge 1$.

Используем формулу для числа сочетаний $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$ и запишем уравнение в развернутом виде:

$\frac{\frac{(2n+1)!}{(n-1)!(2n+1 - (n-1))!}}{\frac{(2n)!}{(n+1)!(2n - (n+1))!}} = \frac{5}{3}$

$\frac{\frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}}{\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}} = \frac{5}{3}$

Упростим левую часть, заменив деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!(n-1)!}{(2n)!} = \frac{5}{3}$

Сократим одинаковые множители $(n-1)!$:

$\frac{(2n+1)!}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{(2n)!} = \frac{5}{3}$

Распишем факториалы, используя свойство $k! = k \cdot (k-1)!$: $(2n+1)! = (2n+1) \cdot (2n)!$ и $(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)!$.

$\frac{(2n+1) \cdot (2n)!}{(n+2) \cdot (n+1)!} \cdot \frac{(n+1)!}{(2n)!} = \frac{5}{3}$

После сокращения $(2n)!$ и $(n+1)!$ получаем простое линейное уравнение:

$\frac{2n+1}{n+2} = \frac{5}{3}$

Решим его, используя основное свойство пропорции:

$3(2n+1) = 5(n+2)$

$6n + 3 = 5n + 10$

$6n - 5n = 10 - 3$

$n = 7$

Проверяем, удовлетворяет ли корень $n=7$ области допустимых значений. Условие $n \ge 1$ выполняется.

Ответ: $n=7$.

2) Дано уравнение $A_{2x}^{x-1} : A_{2x}^{x+1} = \frac{1}{30}$.

Определим ОДЗ для переменной $x$. Для существования числа размещений $A_m^k$ необходимо, чтобы $m, k$ были целыми неотрицательными числами и $m \ge k$.

Для $A_{2x}^{x-1}$: требуется $2x \ge x-1 \implies x \ge -1$, и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Для $A_{2x}^{x+1}$: требуется $2x \ge x+1 \implies x \ge 1$, и $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Общая ОДЗ: $x$ - натуральное число, $x \ge 1$.

Используем формулу для числа размещений $A_m^k = \frac{m!}{(m-k)!}$ и запишем уравнение:

$\frac{\frac{(2x)!}{(2x-(x-1))!}}{\frac{(2x)!}{(2x-(x+1))!}} = \frac{1}{30}$

$\frac{\frac{(2x)!}{(x+1)!}}{\frac{(2x)!}{(x-1)!}} = \frac{1}{30}$

Упростим выражение:

$\frac{(2x)!}{(x+1)!} \cdot \frac{(x-1)!}{(2x)!} = \frac{1}{30}$

Сократим $(2x)!$:

$\frac{(x-1)!}{(x+1)!} = \frac{1}{30}$

Распишем факториал в знаменателе $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!$:

$\frac{(x-1)!}{(x+1)x(x-1)!} = \frac{1}{30}$

После сокращения $(x-1)!$ получаем:

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

Отсюда следует $x(x+1) = 30$, что приводит к квадратному уравнению:

$x^2 + x - 30 = 0$

Найдем корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -1, произведение равно -30. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$), поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=5$.

3) Дано уравнение $C_{n}^{8} : A_{n}^{2} = 2$.

Определим ОДЗ для $n$.

Для $C_{n}^{8}$: требуется $n \ge 8$.

Для $A_{n}^{2}$: требуется $n \ge 2$.

Общая ОДЗ: $n$ - натуральное число, $n \ge 8$.

Используем формулы $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Запишем уравнение в развернутом виде:

$\frac{\frac{n!}{8!(n-8)!}}{\frac{n!}{(n-2)!}} = 2$

Упростим левую часть:

$\frac{n!}{8!(n-8)!} \cdot \frac{(n-2)!}{n!} = 2$

$\frac{(n-2)!}{8!(n-8)!} = 2$

Распишем факториал $(n-2)!$ как $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)!$:

$\frac{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)!}{8!(n-8)!} = 2$

Сократив $(n-8)!$, получим:

$\frac{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{8!} = 2$

Выразим произведение в левой части:

$(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7) = 2 \cdot 8!$

Так как $8! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 40320$, то:

$(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7) = 2 \cdot 40320 = 80640$

Левая часть уравнения представляет собой произведение шести последовательных целых чисел. Обозначим эту функцию $f(n) = (n-2)(n-3)...(n-7)$. Для $n \ge 8$ эта функция монотонно возрастает.

Проверим значения функции для целых $n$ из ОДЗ:

При $n = 11$: $f(11) = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 60480$.

При $n = 12$: $f(12) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151200$.

Мы видим, что $f(11) = 60480 < 80640$ и $f(12) = 151200 > 80640$.

Поскольку $f(n)$ монотонно возрастает на области определения, вещественный корень уравнения должен находиться в интервале $(11, 12)$. Однако, по условию задачи $n$ должно быть целым числом.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: в натуральных числах решений нет.

66. Используя формулу $(1 + x)^n \approx 1 + nx$, вычислите приближенно значение выражения:

1) $1,02^8$;

2) $1,002^{15}$;

3) $0,998^{10}$;

4) $0,97^{11}$.

1) Для вычисления приближенного значения выражения $1.02^8$ воспользуемся формулой $(1 + x)^n \approx 1 + nx$. Сначала представим основание степени в виде $1+x$. $1.02 = 1 + 0.02$. В данном случае, $x = 0.02$, а показатель степени $n = 8$. Теперь подставим эти значения в формулу: $1.02^8 = (1 + 0.02)^8 \approx 1 + 8 \cdot 0.02 = 1 + 0.16 = 1.16$.

Ответ: $1.16$.

2) Для вычисления приближенного значения выражения $1.002^{15}$ представим его в форме $(1 + x)^n$. $1.002 = 1 + 0.002$. Здесь $x = 0.002$ и $n = 15$. Применим формулу приближенного вычисления: $1.002^{15} = (1 + 0.002)^{15} \approx 1 + 15 \cdot 0.002 = 1 + 0.03 = 1.03$.

Ответ: $1.03$.

3) Для вычисления приближенного значения выражения $0.998^{10}$ представим его в виде $(1 + x)^n$. $0.998 = 1 - 0.002 = 1 + (-0.002)$. В этом случае $x = -0.002$ и $n = 10$. Подставим значения в формулу: $0.998^{10} = (1 + (-0.002))^{10} \approx 1 + 10 \cdot (-0.002) = 1 - 0.02 = 0.98$.

Ответ: $0.98$.

4) Для вычисления приближенного значения выражения $0.97^{11}$ представим его в виде $(1 + x)^n$. $0.97 = 1 - 0.03 = 1 + (-0.03)$. Здесь $x = -0.03$ и $n = 11$. Используя формулу, получаем: $0.97^{11} = (1 + (-0.03))^{11} \approx 1 + 11 \cdot (-0.03) = 1 - 0.33 = 0.67$.

Ответ: $0.67$.