Страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

67. Из 200 лотерейных билетов 25 выигрышных. Приобретен один билет. Найдите вероятность того, что лотерейный билет:

1) выигрышный;

2) не выигрышный.

Для решения этой задачи используется классическая формула вероятности: $P = m/n$, где $n$ — это общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В нашем случае, общее число исходов $n$ равно общему количеству лотерейных билетов, то есть $n = 200$.

1) выигрышный

Событие заключается в том, что приобретенный билет является выигрышным. Число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно количеству выигрышных билетов, то есть $m = 25$.

Вероятность того, что купленный билет выигрышный, рассчитывается следующим образом:

$P(\text{выигрыш}) = m/n = 25/200$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 25:

$25/200 = 1/8 = 0.125$

Ответ: 0.125.

2) не выигрышный

Событие заключается в том, что приобретенный билет является не выигрышным. Сначала найдем количество не выигрышных билетов. Для этого из общего числа билетов вычтем количество выигрышных:

$200 - 25 = 175$

Таким образом, число исходов, благоприятствующих этому событию, $m = 175$.

Вероятность того, что купленный билет не выигрышный, рассчитывается так:

$P(\text{не выигрыш}) = m/n = 175/200$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 25:

$175/200 = 7/8 = 0.875$

Эту же вероятность можно было найти и другим способом. События "билет выигрышный" и "билет не выигрышный" являются противоположными, а сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. Следовательно:

$P(\text{не выигрыш}) = 1 - P(\text{выигрыш}) = 1 - 0.125 = 0.875$

Ответ: 0.875.

68. Из 200 лотерейных билетов 20 выигрышных. Приобретены 5 билетов. Найдите вероятность того, что среди приобретенных билетов будут два выигрышных.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности, основанное на комбинаторике. Вероятность события A (среди 5 приобретенных билетов ровно 2 выигрышных) вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех возможных равновероятных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

Шаг 1. Определение общего числа исходов (n)

Общее число исходов — это количество способов, которыми можно выбрать 5 лотерейных билетов из 200 имеющихся. Это число сочетаний из 200 по 5, которое вычисляется по формуле:

$n = \binom{200}{5} = \frac{200!}{5!(200-5)!} = \frac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Вычислять это значение на данном этапе не обязательно, так как многие множители могут сократиться при вычислении итоговой вероятности.

Шаг 2. Определение числа благоприятных исходов (m)

Благоприятный исход — это ситуация, когда из 5 купленных билетов ровно 2 оказываются выигрышными, а остальные $5 - 2 = 3$ — невыигрышными.

Всего имеется 20 выигрышных билетов и $200 - 20 = 180$ невыигрышных.

Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 20 равно:

$\binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190$

Число способов выбрать 3 невыигрышных билета из 180 равно:

$\binom{180}{3} = \frac{180 \cdot 179 \cdot 178}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 30 \cdot 179 \cdot 178 = 955\,860$

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов $m$ равно произведению этих двух значений:

$m = \binom{20}{2} \cdot \binom{180}{3} = 190 \cdot 955\,860 = 181\,613\,400$

Шаг 3. Расчет вероятности

Вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\binom{20}{2}\binom{180}{3}}{\binom{200}{5}}$

Подставим выражения для сочетаний и проведем сокращения:

$P(A) = \frac{\frac{20 \cdot 19}{2} \cdot \frac{180 \cdot 179 \cdot 178}{6}}{\frac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}{120}} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178}{12} \cdot \frac{120}{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}$

$P(A) = \frac{20 \cdot 19 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 10}{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196} = \frac{19 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178}{199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}$

Продолжаем сокращать дробь:

$P(A) = \frac{19 \cdot (18 \cdot 10) \cdot 179 \cdot 178}{199 \cdot (18 \cdot 11) \cdot 197 \cdot 196} = \frac{19 \cdot 10 \cdot 179 \cdot 178}{199 \cdot 11 \cdot 197 \cdot 196}$

$P(A) = \frac{19 \cdot (2 \cdot 5) \cdot 179 \cdot (2 \cdot 89)}{199 \cdot 11 \cdot 197 \cdot (4 \cdot 49)} = \frac{19 \cdot 5 \cdot 179 \cdot 89}{199 \cdot 11 \cdot 197 \cdot 49}$

Теперь перемножим числа в числителе и знаменателе:

Числитель: $19 \cdot 5 \cdot 179 \cdot 89 = 95 \cdot 15931 = 1\,513\,445$

Знаменатель: $11 \cdot 199 \cdot 197 \cdot 49 = 2189 \cdot 9653 = 21\,130\,417$

Таким образом, искомая вероятность равна:

$P(A) = \frac{1\,513\,445}{21\,130\,417}$

В десятичной форме это приблизительно $0.0716$ или $7.16\%$.

Ответ: $\frac{1513445}{21130417}$.

69. 1) При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,95. Какова вероятность того, что для запуска автомобиля придется включать зажигание не более трех раз?

2) На семи карточках записаны буквы а, л, г, е, б, р, а. Берут наугад одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком карточки были вынуты. Найдите вероятность того, что получится слово “алгебра”.

1)

Пусть событие $A$ заключается в том, что двигатель заведется при включении зажигания. По условию, вероятность этого события $P(A) = 0,95$.

Тогда вероятность того, что двигатель не заведется (событие $\bar{A}$), равна $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,95 = 0,05$.

Событие "для запуска автомобиля придется включать зажигание не более трех раз" означает, что двигатель заведется либо с первой попытки, либо со второй, либо с третьей. Эти три случая являются несовместными событиями, поэтому их вероятности можно сложить.

1. Вероятность того, что двигатель заведется с первой попытки, равна $P_1 = P(A) = 0,95$.

2. Вероятность того, что двигатель заведется со второй попытки, означает, что первая попытка была неудачной, а вторая — удачной. Так как попытки независимы, их вероятности перемножаются: $P_2 = P(\bar{A}) \cdot P(A) = 0,05 \cdot 0,95 = 0,0475$.

3. Вероятность того, что двигатель заведется с третьей попытки, означает, что первые две попытки были неудачными, а третья — удачной: $P_3 = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{A}) \cdot P(A) = 0,05^2 \cdot 0,95 = 0,0025 \cdot 0,95 = 0,002375$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих трех событий:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0,95 + 0,0475 + 0,002375 = 0,999875$.

Альтернативный способ: Можно найти вероятность противоположного события — "двигатель не заведется за три попытки" — и вычесть ее из единицы. Вероятность трех неудачных попыток подряд равна $P(\text{3 неудачи}) = P(\bar{A})^3 = 0,05^3 = 0,000125$.

Тогда искомая вероятность равна $1 - 0,000125 = 0,999875$.

Ответ: 0,999875

2)

Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов $n$. Нам дано 7 карточек с буквами: а, а, б, г, е, р, л. Общее число исходов — это количество всех возможных перестановок этих 7 букв. Поскольку буква "а" повторяется 2 раза, мы используем формулу перестановок с повторениями:

$n = P_7(2,1,1,1,1,1) = \frac{7!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{7!}{2!}$

$n = \frac{5040}{2} = 2520$.

Таким образом, из данных букв можно составить 2520 различных последовательностей.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это получение слова "алгебра". Среди всех возможных 2520 перестановок есть только одна, которая образует слово "алгебра". Следовательно, $m = 1$.

3. Найдем искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{2520}$.

Ответ: $\frac{1}{2520}$

70. 1) В круг, длина радиуса которого равна 4 см, наугад брошена точка B. Найдите вероятность того, что эта точка не попадает в круг, находящийся внутри первого круга, и длина радиуса которого равна 2 см.

2) Случайным образом выбирается число из промежутка [-3; 11]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$.

3) Случайным образом выбирается число из промежутка [-4; 11]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 2x - 8 < 0$.

4) Случайным образом выбирается целое число из промежутка [-3; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 2x - 8 > 0$.

1) Эта задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) благоприятствующего множества к мере всего пространства элементарных исходов.

Пространство элементарных исходов – это большой круг радиусом $R = 4$ см. Его площадь $S_{общ}$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

$S_{общ} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см$^2$.

Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что точка В не попадает в малый круг. Малый круг имеет радиус $r = 2$ см. Его площадь $S_{мал}$ равна:

$S_{мал} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

Благоприятной областью является часть большого круга, не включающая малый круг (кольцо). Площадь этой благоприятной области $S_{бл}$ равна разности площадей большого и малого кругов:

$S_{бл} = S_{общ} - S_{мал} = 16\pi - 4\pi = 12\pi$ см$^2$.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению площади благоприятной области к общей площади:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{12\pi}{16\pi} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: 0.75.

2) В этой задаче также используется геометрическая вероятность, но на числовой прямой. Вероятность равна отношению длины благоприятствующего отрезка к длине всего отрезка.

Длина всего промежутка $[-3; 11]$ равна $L_{общ} = 11 - (-3) = 14$.

Теперь найдем, какая часть этого промежутка является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 5x - 6 = 0$, чтобы найти корни.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.

Парабола $y = x^2 - 5x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$ выполняется между корнями, то есть на интервале $(-1; 6)$.

Этот интервал является множеством благоприятных исходов. Он полностью содержится в исходном промежутке $[-3; 11]$.

Длина благоприятствующего интервала $L_{бл}$ равна $6 - (-1) = 7$.

Искомая вероятность $P$ равна отношению длины благоприятствующего интервала к длине всего промежутка:

$P = \frac{L_{бл}}{L_{общ}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0.5.

3) Эта задача аналогична предыдущей и решается с помощью геометрической вероятности на числовой прямой.

Длина всего промежутка $[-4; 11]$ составляет $L_{общ} = 11 - (-4) = 15$.

Найдем решение неравенства $x^2 - 2x - 8 < 0$. Сначала решим уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями, то есть $(-2; 4)$.

Этот интервал является благоприятным и полностью лежит внутри исходного промежутка $[-4; 11]$.

Длина благоприятствующего интервала $L_{бл}$ равна $4 - (-2) = 6$.

Вероятность $P$ равна отношению длин:

$P = \frac{L_{бл}}{L_{общ}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: 0.4.

4) В этой задаче речь идет о выборе целого числа, поэтому мы используем классическое определение вероятности: отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Найдем общее число целых чисел в промежутке $[-3; 10]$. Это числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Их общее количество $N_{общ} = 10 - (-3) + 1 = 14$.

Теперь найдем, какие из этих чисел являются решением неравенства $x^2 - 2x - 8 > 0$.

Из предыдущей задачи мы знаем, что корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Неравенство $x^2 - 2x - 8 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.

Теперь выберем из нашего набора целых чисел те, которые удовлетворяют этому условию:

1) Целые числа, меньшие -2: из нашего набора подходит только -3.

2) Целые числа, большие 4: из нашего набора подходят 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Таким образом, благоприятными исходами являются числа: $\{-3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Число благоприятных исходов $N_{бл} = 1 + 6 = 7$.

Вероятность $P$ равна:

$P = \frac{N_{бл}}{N_{общ}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0.5.

71. Если на каждую скамью в актовом зале посадить по 6 учеников, то четверо учеников останутся без места. Если же на каждую скамью посадить по 7 человек, то три места останутся свободными. Сколько учеников в актовом зале и сколько скамеек?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество скамеек в актовом зале, а $y$ — общее количество учеников.

Исходя из первого условия, если на каждую скамью посадить по 6 учеников, то 4 ученика останутся без места. Это значит, что общее число учеников $y$ равно количеству учеников на скамейках ($6x$) плюс 4. Составим первое уравнение:

$y = 6x + 4$

Исходя из второго условия, если на каждую скамью посадить по 7 человек, то 3 места останутся свободными. Это значит, что общее число учеников $y$ на 3 меньше, чем общее количество мест ($7x$). Составим второе уравнение:

$y = 7x - 3$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Поскольку левые части обоих уравнений равны $y$, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество скамеек $x$:

$6x + 4 = 7x - 3$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем члены с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$4 + 3 = 7x - 6x$

$7 = x$

Таким образом, в актовом зале 7 скамеек.

Чтобы найти количество учеников $y$, подставим найденное значение $x = 7$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$y = 6x + 4$

$y = 6 \cdot 7 + 4$

$y = 42 + 4$

$y = 46$

Следовательно, в актовом зале 46 учеников.

Проведем проверку решения:

1. Если на 7 скамеек посадить по 6 учеников, то всего сядет $7 \times 6 = 42$ ученика. При общем количестве 46 учеников, $46 - 42 = 4$ ученика останутся без места. Это соответствует первому условию.

2. Если на 7 скамеек можно посадить по 7 человек, то общее количество мест составит $7 \times 7 = 49$. Если в зале 46 учеников, то $49 - 46 = 3$ места останутся свободными. Это соответствует второму условию.

Ответ: в актовом зале 46 учеников и 7 скамеек.

72. Семья из четырех человек решила поехать в г. Алматы. Если ехать поездом, тогда расходы на одного человека составят 3460 тенге. На автомобиле на 100 км пути расходуется 11 л бензина. Расстояние до Алматы — 600 км, стоимость бензина равна 176 тг/л.

а) Какая поездка в обоих направлениях для четырех человек окажется дешевле?

б) В случае, когда семья решила ехать на выставку поездом, выясните, насколько дороже окажется поездка.

а) Какая поездка в обоих направлениях для четырех человек окажется дешевле?

1. Сначала рассчитаем общую стоимость поездки на поезде для семьи из четырех человек в оба направления. Стоимость билета на одного человека в одну сторону составляет 3460 тенге.

Стоимость для всей семьи в одну сторону: $4 \text{ человека} \times 3460 \text{ тг} = 13840 \text{ тг}$.

Стоимость поездки в оба направления (туда и обратно): $13840 \text{ тг} \times 2 = 27680 \text{ тг}$.

2. Теперь рассчитаем стоимость поездки на автомобиле в оба направления.

Общее расстояние в оба направления: $600 \text{ км} \times 2 = 1200 \text{ км}$.

Рассчитаем, сколько литров бензина потребуется на всю поездку. Расход составляет 11 литров на 100 км.

Количество бензина: $\frac{1200 \text{ км}}{100 \text{ км}} \times 11 \text{ л} = 12 \times 11 \text{ л} = 132 \text{ л}$.

Стоимость всего бензина: $132 \text{ л} \times 176 \text{ тг/л} = 23232 \text{ тг}$.

3. Сравним полученные стоимости.

Поездка на поезде стоит 27680 тенге, а на автомобиле – 23232 тенге.

$23232 \text{ тг} < 27680 \text{ тг}$.

Таким образом, поездка на автомобиле будет дешевле.

Ответ: поездка на автомобиле окажется дешевле.

б) В случае, когда семья решила ехать на выставку поездом, выясните, насколько дороже окажется поездка.

Чтобы найти, на сколько поездка на поезде дороже, чем на автомобиле, нужно вычесть из стоимости поездки на поезде стоимость поездки на автомобиле.

Разница в стоимости: $27680 \text{ тг} - 23232 \text{ тг} = 4448 \text{ тг}$.

Ответ: поездка на поезде окажется дороже на 4448 тенге.

73. Думан открыл учебник по алгебре и началам анализа и обнаружил, что сумма номеров левой и правой страниц — $49$. Чему равно произведение этих номеров?

Пусть номер левой страницы равен $x$. Поскольку левая и правая страницы в открытой книге представляют собой последовательные числа, номер правой страницы будет равен $x + 1$.

По условию задачи, сумма номеров этих двух страниц равна 49. Составим и решим уравнение, чтобы найти номера страниц:

$x + (x + 1) = 49$

$2x + 1 = 49$

$2x = 49 - 1$

$2x = 48$

$x = \frac{48}{2}$

$x = 24$

Итак, номер левой страницы — 24, а номер правой страницы — $24 + 1 = 25$.

Теперь найдем произведение этих номеров:

$24 \times 25 = 600$

Ответ: 600.