Номер 69, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

69. 1) При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,95. Какова вероятность того, что для запуска автомобиля придется включать зажигание не более трех раз?

2) На семи карточках записаны буквы а, л, г, е, б, р, а. Берут наугад одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком карточки были вынуты. Найдите вероятность того, что получится слово “алгебра”.

1)

Пусть событие $A$ заключается в том, что двигатель заведется при включении зажигания. По условию, вероятность этого события $P(A) = 0,95$.

Тогда вероятность того, что двигатель не заведется (событие $\bar{A}$), равна $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,95 = 0,05$.

Событие "для запуска автомобиля придется включать зажигание не более трех раз" означает, что двигатель заведется либо с первой попытки, либо со второй, либо с третьей. Эти три случая являются несовместными событиями, поэтому их вероятности можно сложить.

1. Вероятность того, что двигатель заведется с первой попытки, равна $P_1 = P(A) = 0,95$.

2. Вероятность того, что двигатель заведется со второй попытки, означает, что первая попытка была неудачной, а вторая — удачной. Так как попытки независимы, их вероятности перемножаются: $P_2 = P(\bar{A}) \cdot P(A) = 0,05 \cdot 0,95 = 0,0475$.

3. Вероятность того, что двигатель заведется с третьей попытки, означает, что первые две попытки были неудачными, а третья — удачной: $P_3 = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{A}) \cdot P(A) = 0,05^2 \cdot 0,95 = 0,0025 \cdot 0,95 = 0,002375$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих трех событий:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0,95 + 0,0475 + 0,002375 = 0,999875$.

Альтернативный способ: Можно найти вероятность противоположного события — "двигатель не заведется за три попытки" — и вычесть ее из единицы. Вероятность трех неудачных попыток подряд равна $P(\text{3 неудачи}) = P(\bar{A})^3 = 0,05^3 = 0,000125$.

Тогда искомая вероятность равна $1 - 0,000125 = 0,999875$.

Ответ: 0,999875

2)

Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов $n$. Нам дано 7 карточек с буквами: а, а, б, г, е, р, л. Общее число исходов — это количество всех возможных перестановок этих 7 букв. Поскольку буква "а" повторяется 2 раза, мы используем формулу перестановок с повторениями:

$n = P_7(2,1,1,1,1,1) = \frac{7!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{7!}{2!}$

$n = \frac{5040}{2} = 2520$.

Таким образом, из данных букв можно составить 2520 различных последовательностей.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это получение слова "алгебра". Среди всех возможных 2520 перестановок есть только одна, которая образует слово "алгебра". Следовательно, $m = 1$.

3. Найдем искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{2520}$.

Ответ: $\frac{1}{2520}$