Номер 71, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

71. Если на каждую скамью в актовом зале посадить по 6 учеников, то четверо учеников останутся без места. Если же на каждую скамью посадить по 7 человек, то три места останутся свободными. Сколько учеников в актовом зале и сколько скамеек?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество скамеек в актовом зале, а $y$ — общее количество учеников.

Исходя из первого условия, если на каждую скамью посадить по 6 учеников, то 4 ученика останутся без места. Это значит, что общее число учеников $y$ равно количеству учеников на скамейках ($6x$) плюс 4. Составим первое уравнение:

$y = 6x + 4$

Исходя из второго условия, если на каждую скамью посадить по 7 человек, то 3 места останутся свободными. Это значит, что общее число учеников $y$ на 3 меньше, чем общее количество мест ($7x$). Составим второе уравнение:

$y = 7x - 3$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Поскольку левые части обоих уравнений равны $y$, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество скамеек $x$:

$6x + 4 = 7x - 3$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем члены с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$4 + 3 = 7x - 6x$

$7 = x$

Таким образом, в актовом зале 7 скамеек.

Чтобы найти количество учеников $y$, подставим найденное значение $x = 7$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$y = 6x + 4$

$y = 6 \cdot 7 + 4$

$y = 42 + 4$

$y = 46$

Следовательно, в актовом зале 46 учеников.

Проведем проверку решения:

1. Если на 7 скамеек посадить по 6 учеников, то всего сядет $7 \times 6 = 42$ ученика. При общем количестве 46 учеников, $46 - 42 = 4$ ученика останутся без места. Это соответствует первому условию.

2. Если на 7 скамеек можно посадить по 7 человек, то общее количество мест составит $7 \times 7 = 49$. Если в зале 46 учеников, то $49 - 46 = 3$ места останутся свободными. Это соответствует второму условию.

Ответ: в актовом зале 46 учеников и 7 скамеек.