Номер 65, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

65. Решите уравнение:

1) $C_{2n+1}^{n-1} : C_{2n}^{n+1} = 1\frac{2}{3};$

2) $A_{2x}^{x-1} : A_{2x}^{x+1} = \frac{1}{30};$

3) $C_n^8 : A_n^2 = 2.$

1) Дано уравнение $C_{2n+1}^{n-1} : C_{2n}^{n+1} = 1\frac{2}{3}$.

Преобразуем правую часть смешанной дроби в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $n$. Для существования числа сочетаний $C_m^k$ необходимо, чтобы $m, k$ были целыми неотрицательными числами и выполнялось условие $m \ge k$.

Для $C_{2n+1}^{n-1}$: требуется $2n+1 \ge n-1$, что дает $n \ge -2$, и $n-1 \ge 0$, что дает $n \ge 1$.

Для $C_{2n}^{n+1}$: требуется $2n \ge n+1$, что дает $n \ge 1$, и $n+1 \ge 0$, что дает $n \ge -1$.

Объединяя все условия, получаем, что $n$ должно быть натуральным числом, и $n \ge 1$.

Используем формулу для числа сочетаний $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$ и запишем уравнение в развернутом виде:

$\frac{\frac{(2n+1)!}{(n-1)!(2n+1 - (n-1))!}}{\frac{(2n)!}{(n+1)!(2n - (n+1))!}} = \frac{5}{3}$

$\frac{\frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}}{\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}} = \frac{5}{3}$

Упростим левую часть, заменив деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!(n-1)!}{(2n)!} = \frac{5}{3}$

Сократим одинаковые множители $(n-1)!$:

$\frac{(2n+1)!}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{(2n)!} = \frac{5}{3}$

Распишем факториалы, используя свойство $k! = k \cdot (k-1)!$: $(2n+1)! = (2n+1) \cdot (2n)!$ и $(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)!$.

$\frac{(2n+1) \cdot (2n)!}{(n+2) \cdot (n+1)!} \cdot \frac{(n+1)!}{(2n)!} = \frac{5}{3}$

После сокращения $(2n)!$ и $(n+1)!$ получаем простое линейное уравнение:

$\frac{2n+1}{n+2} = \frac{5}{3}$

Решим его, используя основное свойство пропорции:

$3(2n+1) = 5(n+2)$

$6n + 3 = 5n + 10$

$6n - 5n = 10 - 3$

$n = 7$

Проверяем, удовлетворяет ли корень $n=7$ области допустимых значений. Условие $n \ge 1$ выполняется.

Ответ: $n=7$.

2) Дано уравнение $A_{2x}^{x-1} : A_{2x}^{x+1} = \frac{1}{30}$.

Определим ОДЗ для переменной $x$. Для существования числа размещений $A_m^k$ необходимо, чтобы $m, k$ были целыми неотрицательными числами и $m \ge k$.

Для $A_{2x}^{x-1}$: требуется $2x \ge x-1 \implies x \ge -1$, и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Для $A_{2x}^{x+1}$: требуется $2x \ge x+1 \implies x \ge 1$, и $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Общая ОДЗ: $x$ - натуральное число, $x \ge 1$.

Используем формулу для числа размещений $A_m^k = \frac{m!}{(m-k)!}$ и запишем уравнение:

$\frac{\frac{(2x)!}{(2x-(x-1))!}}{\frac{(2x)!}{(2x-(x+1))!}} = \frac{1}{30}$

$\frac{\frac{(2x)!}{(x+1)!}}{\frac{(2x)!}{(x-1)!}} = \frac{1}{30}$

Упростим выражение:

$\frac{(2x)!}{(x+1)!} \cdot \frac{(x-1)!}{(2x)!} = \frac{1}{30}$

Сократим $(2x)!$:

$\frac{(x-1)!}{(x+1)!} = \frac{1}{30}$

Распишем факториал в знаменателе $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!$:

$\frac{(x-1)!}{(x+1)x(x-1)!} = \frac{1}{30}$

После сокращения $(x-1)!$ получаем:

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

Отсюда следует $x(x+1) = 30$, что приводит к квадратному уравнению:

$x^2 + x - 30 = 0$

Найдем корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -1, произведение равно -30. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$), поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=5$.

3) Дано уравнение $C_{n}^{8} : A_{n}^{2} = 2$.

Определим ОДЗ для $n$.

Для $C_{n}^{8}$: требуется $n \ge 8$.

Для $A_{n}^{2}$: требуется $n \ge 2$.

Общая ОДЗ: $n$ - натуральное число, $n \ge 8$.

Используем формулы $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Запишем уравнение в развернутом виде:

$\frac{\frac{n!}{8!(n-8)!}}{\frac{n!}{(n-2)!}} = 2$

Упростим левую часть:

$\frac{n!}{8!(n-8)!} \cdot \frac{(n-2)!}{n!} = 2$

$\frac{(n-2)!}{8!(n-8)!} = 2$

Распишем факториал $(n-2)!$ как $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)!$:

$\frac{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)!}{8!(n-8)!} = 2$

Сократив $(n-8)!$, получим:

$\frac{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{8!} = 2$

Выразим произведение в левой части:

$(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7) = 2 \cdot 8!$

Так как $8! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 40320$, то:

$(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7) = 2 \cdot 40320 = 80640$

Левая часть уравнения представляет собой произведение шести последовательных целых чисел. Обозначим эту функцию $f(n) = (n-2)(n-3)...(n-7)$. Для $n \ge 8$ эта функция монотонно возрастает.

Проверим значения функции для целых $n$ из ОДЗ:

При $n = 11$: $f(11) = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 60480$.

При $n = 12$: $f(12) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151200$.

Мы видим, что $f(11) = 60480 < 80640$ и $f(12) = 151200 > 80640$.

Поскольку $f(n)$ монотонно возрастает на области определения, вещественный корень уравнения должен находиться в интервале $(11, 12)$. Однако, по условию задачи $n$ должно быть целым числом.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: в натуральных числах решений нет.