Номер 60, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

60. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из корней которого является число:

1) $2i$;

2) $2 - i$;

3) $3 - 2i$;

4) $-2 + 4i$.

Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами вида $ax^2 + bx + c = 0$ справедливо следующее свойство: если один из корней является комплексным числом $z = u + vi$, то второй корень обязательно будет его комплексно-сопряженным числом $\bar{z} = u - vi$.

Зная оба корня $z_1$ и $z_2$, можно составить приведенное квадратное уравнение (т.е. с коэффициентом при $x^2$ равным 1) по теореме Виета: $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1 \cdot z_2 = 0$.

1)

Дан один корень $z_1 = 2i$. Так как коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным к $z_1$.

$z_2 = \overline{2i} = -2i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = z_1 + z_2 = 2i + (-2i) = 0$.

Произведение корней: $P = z_1 \cdot z_2 = (2i) \cdot (-2i) = -4i^2 = -4(-1) = 4$.

Подставим найденные значения суммы $S$ и произведения $P$ в формулу $x^2 - S \cdot x + P = 0$:

$x^2 - 0 \cdot x + 4 = 0$

$x^2 + 4 = 0$.

Ответ: $x^2 + 4 = 0$.

2)

Дан один корень $z_1 = 2 - i$. Второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным.

$z_2 = \overline{2 - i} = 2 + i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = z_1 + z_2 = (2 - i) + (2 + i) = 4$.

Произведение корней: $P = z_1 \cdot z_2 = (2 - i)(2 + i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$.

Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - 4x + 5 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x + 5 = 0$.

3)

Дан один корень $z_1 = 3 - 2i$. Второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным.

$z_2 = \overline{3 - 2i} = 3 + 2i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = z_1 + z_2 = (3 - 2i) + (3 + 2i) = 6$.

Произведение корней: $P = z_1 \cdot z_2 = (3 - 2i)(3 + 2i) = 3^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2 = 9 - 4(-1) = 9 + 4 = 13$.

Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - 6x + 13 = 0$.

Ответ: $x^2 - 6x + 13 = 0$.

4)

Дан один корень $z_1 = -2 + 4i$. Второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным.

$z_2 = \overline{-2 + 4i} = -2 - 4i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = z_1 + z_2 = (-2 + 4i) + (-2 - 4i) = -4$.

Произведение корней: $P = z_1 \cdot z_2 = (-2 + 4i)(-2 - 4i) = (-2)^2 - (4i)^2 = 4 - 16i^2 = 4 - 16(-1) = 4 + 16 = 20$.

Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (-4)x + 20 = 0$

$x^2 + 4x + 20 = 0$.

Ответ: $x^2 + 4x + 20 = 0$.