Номер 54, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

54. Решите линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

1) $y'' - 5y' - 6y = 0;$
2) $y'' - 2y' - 8y = 0;$
3) $y'' + 3y' - 10y = 0;$
4) $y'' + 4y' - 12y = 0.$

1)

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: $y'' - 5y' - 6y = 0$.

Для его решения составим соответствующее характеристическое уравнение. Для этого заменим производные на степени переменной $k$: $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$.

Характеристическое уравнение имеет вид:

$k^2 - 5k - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$k_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = -1$.

$k_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6$.

Так как корни характеристического уравнения действительные и различные ($k_1 \neq k_2$), общее решение дифференциального уравнения имеет вид $y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Подставим найденные значения корней $k_1 = -1$ и $k_2 = 6$ в формулу общего решения:

$y = C_1e^{-1 \cdot x} + C_2e^{6x} = C_1e^{-x} + C_2e^{6x}$.

Ответ: $y = C_1e^{-x} + C_2e^{6x}$.

2)

Дано уравнение: $y'' - 2y' - 8y = 0$.

Составляем характеристическое уравнение:

$k^2 - 2k - 8 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$k_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.

$k_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.

Общее решение для случая двух различных действительных корней $k_1$ и $k_2$ имеет вид $y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляем найденные значения $k_1 = -2$ и $k_2 = 4$:

$y = C_1e^{-2x} + C_2e^{4x}$.

Ответ: $y = C_1e^{-2x} + C_2e^{4x}$.

3)

Дано уравнение: $y'' + 3y' - 10y = 0$.

Характеристическое уравнение:

$k^2 + 3k - 10 = 0$.

Находим корни. Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни действительные и различные, так как $D > 0$:

$k_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.

$k_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.

Общее решение имеет вид $y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляем значения $k_1 = -5$ и $k_2 = 2$:

$y = C_1e^{-5x} + C_2e^{2x}$.

Ответ: $y = C_1e^{-5x} + C_2e^{2x}$.

4)

Дано уравнение: $y'' + 4y' - 12y = 0$.

Характеристическое уравнение:

$k^2 + 4k - 12 = 0$.

Находим корни. Вычислим дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Корни действительные и различные, так как $D > 0$:

$k_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$.

$k_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$.

Общее решение имеет вид $y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляем значения $k_1 = -6$ и $k_2 = 2$:

$y = C_1e^{-6x} + C_2e^{2x}$.

Ответ: $y = C_1e^{-6x} + C_2e^{2x}$.