Номер 61, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

61. 1) Сколько чисел, меньших 10 000, можно составить из цифр 2, 6, 7? Сколько из них нечетных?

2) Сколько чисел, меньших 10 000, можно составить из цифр 4, 5, 9? Сколько из них четных?

1)

Для составления чисел, меньших 10 000, из цифр 2, 6, 7, мы можем формировать числа, состоящие из одной, двух, трех или четырех цифр. Поскольку в условии не указано, что цифры не могут повторяться, будем считать, что повторения разрешены.

В нашем распоряжении 3 цифры: {2, 6, 7}.

Рассчитаем количество возможных чисел для каждой разрядности:

• Однозначные числа: можно составить 3 числа (2, 6, 7).
• Двузначные числа: для каждой из двух позиций (разряд десятков и разряд единиц) есть 3 варианта выбора цифры. Всего можно составить $3 \times 3 = 3^2 = 9$ чисел.
• Трехзначные числа: для каждой из трех позиций есть 3 варианта выбора. Всего можно составить $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ чисел.
• Четырехзначные числа: для каждой из четырех позиций есть 3 варианта выбора. Всего можно составить $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ число.

Общее количество чисел, которые можно составить, равно сумме чисел всех разрядностей: $N_{общ} = 3 + 9 + 27 + 81 = 120$.

Теперь определим, сколько из этих чисел являются нечетными. Число является нечетным, если его последняя цифра — нечетная. В наборе {2, 6, 7} нечетной является только цифра 7.

• Нечетные однозначные числа: только число 7. Всего 1 число.
• Нечетные двузначные числа: последняя цифра должна быть 7 (1 вариант), а первая может быть любой из трех. Всего $3 \times 1 = 3$ числа.
• Нечетные трехзначные числа: последняя цифра — 7 (1 вариант), а первые две — любые из трех. Всего $3 \times 3 \times 1 = 9$ чисел.
• Нечетные четырехзначные числа: последняя цифра — 7 (1 вариант), а первые три — любые из трех. Всего $3 \times 3 \times 3 \times 1 = 27$ чисел.

Общее количество нечетных чисел: $N_{нечет} = 1 + 3 + 9 + 27 = 40$.

Ответ: можно составить 120 чисел, из них 40 нечетных.

2)

Для составления чисел, меньших 10 000, из цифр 4, 5, 9, мы также можем формировать числа, состоящие из одной, двух, трех или четырех цифр, с повторением цифр.

В нашем распоряжении 3 цифры: {4, 5, 9}.

Расчет общего количества чисел аналогичен первому пункту, так как количество доступных цифр также равно трем.

• Однозначные числа: 3.
• Двузначные числа: $3^2 = 9$.
• Трехзначные числа: $3^3 = 27$.
• Четырехзначные числа: $3^4 = 81$.

Общее количество чисел: $N_{общ} = 3 + 9 + 27 + 81 = 120$.

Теперь определим, сколько из этих чисел являются четными. Число является четным, если его последняя цифра — четная. В наборе {4, 5, 9} четной является только цифра 4.

• Четные однозначные числа: только число 4. Всего 1 число.
• Четные двузначные числа: последняя цифра должна быть 4 (1 вариант), а первая может быть любой из трех. Всего $3 \times 1 = 3$ числа.
• Четные трехзначные числа: последняя цифра — 4 (1 вариант), а первые две — любые из трех. Всего $3 \times 3 \times 1 = 9$ чисел.
• Четные четырехзначные числа: последняя цифра — 4 (1 вариант), а первые три — любые из трех. Всего $3 \times 3 \times 3 \times 1 = 27$ чисел.

Общее количество четных чисел: $N_{чет} = 1 + 3 + 9 + 27 = 40$.

Ответ: можно составить 120 чисел, из них 40 четных.