Номер 63, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

63. В партии из 20 изделий имеются четыре изделия с дефектами. Для проверки их качества случайно выбирают три изделия. Составьте ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в этой выборке.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу дефектных изделий в выборке. Всего в партии 20 изделий, из них 4 дефектных и $20-4=16$ стандартных. Из партии случайным образом отбирают 3 изделия. Следовательно, случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Вероятности возможных значений $X$ находятся с помощью формулы для гипергеометрического распределения: $P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$, где $N=20$ — общий размер партии, $K=4$ — число дефектных изделий в партии, $n=3$ — размер выборки, $k$ — число дефектных изделий в выборке.

Общее число способов выбрать 3 изделия из 20 составляет:

$n_{общ} = C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $k$.

При $k=0$ (в выборке нет дефектных изделий, все 3 стандартные):

$P(X=0) = \frac{C_4^0 \cdot C_{16}^3}{C_{20}^3} = \frac{1 \cdot \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{1140} = \frac{1 \cdot 560}{1140} = \frac{560}{1140} = \frac{28}{57}$.

При $k=1$ (в выборке одно дефектное изделие и два стандартных):

$P(X=1) = \frac{C_4^1 \cdot C_{16}^2}{C_{20}^3} = \frac{4 \cdot \frac{16 \cdot 15}{2}}{1140} = \frac{4 \cdot 120}{1140} = \frac{480}{1140} = \frac{8}{19}$.

При $k=2$ (в выборке два дефектных изделия и одно стандартное):

$P(X=2) = \frac{C_4^2 \cdot C_{16}^1}{C_{20}^3} = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 16}{1140} = \frac{6 \cdot 16}{1140} = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95}$.

При $k=3$ (в выборке три дефектных изделия):

$P(X=3) = \frac{C_4^3 \cdot C_{16}^0}{C_{20}^3} = \frac{4 \cdot 1}{1140} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285}$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$\frac{28}{57} + \frac{8}{19} + \frac{8}{95} + \frac{1}{285} = \frac{140}{285} + \frac{120}{285} + \frac{24}{285} + \frac{1}{285} = \frac{140+120+24+1}{285} = \frac{285}{285} = 1$.

Расчеты верны.

Ответ: