Номер 68, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

68. Из 200 лотерейных билетов 20 выигрышных. Приобретены 5 билетов. Найдите вероятность того, что среди приобретенных билетов будут два выигрышных.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности, основанное на комбинаторике. Вероятность события A (среди 5 приобретенных билетов ровно 2 выигрышных) вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех возможных равновероятных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

Шаг 1. Определение общего числа исходов (n)

Общее число исходов — это количество способов, которыми можно выбрать 5 лотерейных билетов из 200 имеющихся. Это число сочетаний из 200 по 5, которое вычисляется по формуле:

$n = \binom{200}{5} = \frac{200!}{5!(200-5)!} = \frac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Вычислять это значение на данном этапе не обязательно, так как многие множители могут сократиться при вычислении итоговой вероятности.

Шаг 2. Определение числа благоприятных исходов (m)

Благоприятный исход — это ситуация, когда из 5 купленных билетов ровно 2 оказываются выигрышными, а остальные $5 - 2 = 3$ — невыигрышными.

Всего имеется 20 выигрышных билетов и $200 - 20 = 180$ невыигрышных.

Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 20 равно:

$\binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190$

Число способов выбрать 3 невыигрышных билета из 180 равно:

$\binom{180}{3} = \frac{180 \cdot 179 \cdot 178}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 30 \cdot 179 \cdot 178 = 955\,860$

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов $m$ равно произведению этих двух значений:

$m = \binom{20}{2} \cdot \binom{180}{3} = 190 \cdot 955\,860 = 181\,613\,400$

Шаг 3. Расчет вероятности

Вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\binom{20}{2}\binom{180}{3}}{\binom{200}{5}}$

Подставим выражения для сочетаний и проведем сокращения:

$P(A) = \frac{\frac{20 \cdot 19}{2} \cdot \frac{180 \cdot 179 \cdot 178}{6}}{\frac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}{120}} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178}{12} \cdot \frac{120}{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}$

$P(A) = \frac{20 \cdot 19 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 10}{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196} = \frac{19 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178}{199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}$

Продолжаем сокращать дробь:

$P(A) = \frac{19 \cdot (18 \cdot 10) \cdot 179 \cdot 178}{199 \cdot (18 \cdot 11) \cdot 197 \cdot 196} = \frac{19 \cdot 10 \cdot 179 \cdot 178}{199 \cdot 11 \cdot 197 \cdot 196}$

$P(A) = \frac{19 \cdot (2 \cdot 5) \cdot 179 \cdot (2 \cdot 89)}{199 \cdot 11 \cdot 197 \cdot (4 \cdot 49)} = \frac{19 \cdot 5 \cdot 179 \cdot 89}{199 \cdot 11 \cdot 197 \cdot 49}$

Теперь перемножим числа в числителе и знаменателе:

Числитель: $19 \cdot 5 \cdot 179 \cdot 89 = 95 \cdot 15931 = 1\,513\,445$

Знаменатель: $11 \cdot 199 \cdot 197 \cdot 49 = 2189 \cdot 9653 = 21\,130\,417$

Таким образом, искомая вероятность равна:

$P(A) = \frac{1\,513\,445}{21\,130\,417}$

В десятичной форме это приблизительно $0.0716$ или $7.16\%$.

Ответ: $\frac{1513445}{21130417}$.