Номер 70, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

70. 1) В круг, длина радиуса которого равна 4 см, наугад брошена точка B. Найдите вероятность того, что эта точка не попадает в круг, находящийся внутри первого круга, и длина радиуса которого равна 2 см.

2) Случайным образом выбирается число из промежутка [-3; 11]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$.

3) Случайным образом выбирается число из промежутка [-4; 11]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 2x - 8 < 0$.

4) Случайным образом выбирается целое число из промежутка [-3; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 2x - 8 > 0$.

1) Эта задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) благоприятствующего множества к мере всего пространства элементарных исходов.

Пространство элементарных исходов – это большой круг радиусом $R = 4$ см. Его площадь $S_{общ}$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

$S_{общ} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см$^2$.

Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что точка В не попадает в малый круг. Малый круг имеет радиус $r = 2$ см. Его площадь $S_{мал}$ равна:

$S_{мал} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

Благоприятной областью является часть большого круга, не включающая малый круг (кольцо). Площадь этой благоприятной области $S_{бл}$ равна разности площадей большого и малого кругов:

$S_{бл} = S_{общ} - S_{мал} = 16\pi - 4\pi = 12\pi$ см$^2$.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению площади благоприятной области к общей площади:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{12\pi}{16\pi} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: 0.75.

2) В этой задаче также используется геометрическая вероятность, но на числовой прямой. Вероятность равна отношению длины благоприятствующего отрезка к длине всего отрезка.

Длина всего промежутка $[-3; 11]$ равна $L_{общ} = 11 - (-3) = 14$.

Теперь найдем, какая часть этого промежутка является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 5x - 6 = 0$, чтобы найти корни.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.

Парабола $y = x^2 - 5x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$ выполняется между корнями, то есть на интервале $(-1; 6)$.

Этот интервал является множеством благоприятных исходов. Он полностью содержится в исходном промежутке $[-3; 11]$.

Длина благоприятствующего интервала $L_{бл}$ равна $6 - (-1) = 7$.

Искомая вероятность $P$ равна отношению длины благоприятствующего интервала к длине всего промежутка:

$P = \frac{L_{бл}}{L_{общ}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0.5.

3) Эта задача аналогична предыдущей и решается с помощью геометрической вероятности на числовой прямой.

Длина всего промежутка $[-4; 11]$ составляет $L_{общ} = 11 - (-4) = 15$.

Найдем решение неравенства $x^2 - 2x - 8 < 0$. Сначала решим уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями, то есть $(-2; 4)$.

Этот интервал является благоприятным и полностью лежит внутри исходного промежутка $[-4; 11]$.

Длина благоприятствующего интервала $L_{бл}$ равна $4 - (-2) = 6$.

Вероятность $P$ равна отношению длин:

$P = \frac{L_{бл}}{L_{общ}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: 0.4.

4) В этой задаче речь идет о выборе целого числа, поэтому мы используем классическое определение вероятности: отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Найдем общее число целых чисел в промежутке $[-3; 10]$. Это числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Их общее количество $N_{общ} = 10 - (-3) + 1 = 14$.

Теперь найдем, какие из этих чисел являются решением неравенства $x^2 - 2x - 8 > 0$.

Из предыдущей задачи мы знаем, что корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Неравенство $x^2 - 2x - 8 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.

Теперь выберем из нашего набора целых чисел те, которые удовлетворяют этому условию:

1) Целые числа, меньшие -2: из нашего набора подходит только -3.

2) Целые числа, большие 4: из нашего набора подходят 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Таким образом, благоприятными исходами являются числа: $\{-3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Число благоприятных исходов $N_{бл} = 1 + 6 = 7$.

Вероятность $P$ равна:

$P = \frac{N_{бл}}{N_{общ}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0.5.